Quais são os números algébricos p-ádicos?

Question

"Dado $p$, quais são os elementos de $\mathbb{Q}_p$ algébrico $\mathbb{Q}$? "

Eu periodicamente me pergunto isso e me deparo com essa questão matemática que parece estar perguntando a mesma coisa. A resposta escolhida não parece responder a essa pergunta (pelo que posso ver), e pesquisar "números algébricos p-ádicos" no Google retorna essa pergunta como o resultado principal. Nesse ponto, desisto e espero até esquecer e tentar novamente. Portanto, desta vez vou perguntar:

Você conhece uma caracterização (mais conveniente) de $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ ou ter referências para o "$p$-números algébricos? "

Não tenho certeza se há uma caracterização de "números algébricos reais" muito mais satisfatória do que "números algébricos reais", mas o valor absoluto p-ádico é inerentemente mais "algébrico" do que o valor absoluto real, e há diferenças como $p$ varia, então o que são?

Answer 1

Deixar $O_\overline{\Bbb{Q}}$ sejam os inteiros algébricos, pegue algum ideal máximo $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ contendo $p$, deixar $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, então $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ e $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ é (isomórfico para) o subcampo de $\overline{\Bbb{Q}}$ consertado por $G$.

Equivalentemente, deixe $S$ ser o conjunto de extensões algébricas (grau infinito) $K/\Bbb{Q}$ para o qual algum ideal máximo $\mathfrak{p}\subset O_K$ é tal que $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. Então$\Bbb{Z}_p$ é (isomórfico para) a conclusão de $O_K$ no $\mathfrak{p}$, e $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ é (isomórfico a) qualquer elemento máximo de $S$.