Qual deve ser a massa de um planeta para que sua velocidade de escape seja próxima à velocidade da luz? [duplicado]
Qual deve ser a massa de um planeta para que sua velocidade de escape seja a velocidade da luz? É mesmo possível? Qual será a aparência de um visualizador externo? Será mesmo visível no espectro do olho humano?
Respostas
Como @KeithMcClary diz em seu comentário, a velocidade de escape depende da massa e do raio. Quanto menor for o raio de uma dada massa, maior será a velocidade de escape. Portanto, se você pudesse de alguma forma comprimir a Terra até que ela tivesse apenas alguns centímetros de diâmetro, sua velocidade de escape se aproximaria da velocidade da luz.
No outro extremo, se você preenchesse um espaço com o dobro do diâmetro da órbita da Terra com cópias da Terra, sem fazer nenhuma compressão, já seria um buraco negro.
Se você simplesmente empilhar matéria em um planeta e deixar sua própria gravidade comprimi-la, você precisa de cerca de 2 massas solares antes que ele esteja perto de ser um buraco negro (nesse ponto ele tem 10-20 km de diâmetro).
A velocidade de escape pode ser descrita por
$$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}\tag{1}$$
Onde $v$ é a velocidade de escape, $r$ é a distância da massa (no caso do planeta, a distância mínima é o raio do planeta), $M$ é a missa e $G$ é a constante gravitacional de Newton.
Se o planeta deve ter a velocidade de escape da velocidade da luz, ele deve ser tão denso que você deve considerar os efeitos relativísticos. Na Relatividade Geral, o Raio de Schwarzschild de um buraco negro (este raio é a distância na qual a velocidade de escape é igual$c$, que é exatamente o que você deseja) é descrito por:
$$r=\frac{2GM}{c^2}\tag{2}$$
Que pode ser resolvido para $m$:
$$M=\frac{rc^2}{2G}\tag{3}$$
Portanto, se você tiver um raio de massa fixo, poderá calcular facilmente o parâmetro ausente usando essas equações.
O problema, como mencionado antes, é que para um planeta (ou qualquer outro corpo) ter uma velocidade de escape da velocidade da luz, ele deve ser extremamente denso. Na verdade, se for denso o suficiente para ter$v_{esc} = c$, o corpo é um buraco negro (Pense nisso - o horizonte de eventos de um buraco negro se a distância onde a velocidade de escape é igual à velocidade da luz, então nada além deste horizonte não pode escapar, pois exigiria uma velocidade maior que $c$)