Qual é o significado de "devido à simetria dos coeficientes, se $x=r$ é um zero de $x^4+x^3+x^2+x+1$ então $x=\frac1r$ também é um zero ”

Question

Eu estava estudando esta resposta sobre factoring $x^4+x^3+x^2+x+1$:

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

O autor diz: "Uma abordagem algébrica mais limpa é perceber que, devido à simetria dos coeficientes, se $x=r$ é um zero de $x^4+x^3+x^2+x+1$ então $x= {1\over r}$ também é um zero "

E eventualmente ele escreve $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

Questão $1$: Qual é o significado de simetria dos coeficientes?

Questão $2$: Podemos fazer a mesma abordagem para $x^4-x^3+x^2-x+1$? (Eu pergunto porque é relevante para a minha outra pergunta:https://math.stackexchange.com/q/3792586)

Answer 1

A lista de coeficientes de$$x^4+x^3+x^2+x+1$$é $(1,1,1,1,1)$, que é simétrico (se você inverter, obterá a mesma lista). Em outras palavras, é uma lista do tipo$(a,b,c,b,a)$. E se$r(\ne0)$ é uma raiz de$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$então$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$e portanto$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$também; em outras palavras,$\frac1r$ também é uma raiz de $(1)$. Então, a menos que uma das raízes seja$\pm1$ (que são os únicos números iguais aos seus próprios inversos), $(1)$pode ser escrito como \ begin {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left (x ^ 2- \ left (r + \ frac1r \ right) x + 1 \ right) \ left (x ^ 2- \ left (r '+ \ frac1 {r'} \ right) x + 1 \ right). \ fim {multline}

Em particular, $x^4-x^3+x^2-x+1$ pode ser escrito como$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$A fim de encontrar $a$ e $b$, resolva o sistema$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

Answer 2

Para responder à pergunta original, o processo de pensamento vem da seguinte forma:

(1) Se $r$ é uma solução para $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, então $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.

(2) Divida ambos os lados por $r^4$ você pega $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. Portanto$1\over r$ também é uma solução.

(3) Portanto, se $(x-r)$ é um fator do polinômio, então $(x-{1\over r})$ também é um fator.

(4) Portanto, a equação pode ser escrita como $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

(5) Portanto, pode ser escrito como $(x+ax+1)(x+bx+1)$