Quantas palavras com quatro letras podem ser formadas se cada letra pudesse ser usada no máximo $2$ vezes?

Question

Você tem as cinco letras $A, B, C, D$ e $E$. Quantas palavras com quatro letras podem ser formadas se cada letra pudesse ser usada no máximo$2$vezes? (uma letra aparece na palavra$0, 1$ ou $2$ vezes.)

eu tentei $5\cdot4\cdot3\cdot3$ e então pensei que as posições podem ser organizadas em $4\cdot3\cdot2\cdot1$. No entanto, isso deve ser dividido por$2$ Porque $A~A~\_~\_$ e $A~A~\_~\_$são os mesmos resultados. Mas a resposta que recebi não foi correta. A resposta correta de acordo com a chave é$540$.

Answer 1

Com $5$ letras você pode fazer $5^4$ palavras de quatro letras.

Mas entre essas palavras,

• existem aqueles com uma letra que é repetida quatro vezes (obviamente existem $5$ tais palavras);
• e há as palavras com uma letra repetida três vezes. tem$5 \times 4 \times 4$ tais palavras (na verdade, você tem que escolher a letra tripla - $5$ possibilidades, a outra letra - $4$ possibilidades restantes e, finalmente, o lugar da outra letra - $4$ possibilidades).

Portanto, o número total de palavras que você deseja contar é $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$

Answer 2

Existem três casos possíveis.

1. Todas as letras são distintas

Gostar ($A, B, C, D$) Selecionando$4$ cartas de $5$ e organizá-los dá $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ maneiras.

2. Dois distintos e dois iguais

(Gostar $A,B,C,C$) Selecionando$3$ cartas de $5$ e novamente selecionando um daqueles $3$ letras como a quarta letra e organizando-as: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ maneiras.

3. Apenas duas letras distintas

(Gostar $A,A,C,C$) Selecionando$2$ cartas de $5$ cartas e arranjos dá $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ maneiras.

Somando tudo isso nos dá $540$.