Quantos pontos a projeção de uma variedade em uma linha pode omitir?

Question

Deixei $V$ ser uma subvariedade fechada de $\mathbb{A}^n$. Deixei$\pi:\mathbb{A}^n\to \mathbb{A}^1$ seja o mapa de projeção que esquece o último $n-1$coordenadas (digamos). Suponha que o fechamento de Zariski de$\pi(V)$ é $\mathbb{A}^1$. Então$\pi(V)$ deve ser da forma $\mathbb{A}^1\setminus S$, Onde $S$ é um conjunto finito de pontos em $\mathbb{A}^1$. Que tipo de limite útil podemos fornecer sobre o número de pontos$|S|$ dentro $S$?

Estou procurando um limite do formulário $|S|\leq (\deg V)^D$, Onde $D$ é uma função de $n$. Seria muito bom se$D$ foram delimitados por um polinômio em $n$. (Acho que já sei como conseguir uma horrível$D$.)

Answer 1

Parece-me que se pode ligar $|S|\leq (n-1) \deg(V)$.

Primeiramente, note que podemos trabalhar projetivamente, ou seja, poderemos trabalhar com o fechamento projetivo $\overline{V}\subset \mathbb{P}^n$. No final, os pontos de$\overline{V}\setminus V$ só contribuirá com um ponto no infinito em $\mathbb{P}^1$, e não estamos contando esse ponto de qualquer maneira. Vamos escrever$V$ em vez de $\overline{V}$ daqui em diante.

Podemos definir um mapa $\pi_n:\mathbf{P}^n\setminus P_{0,n}\to \mathbf{P}^{n-1}$ de $\pi_n(x_0:x_1:\dotsc:x_n) = (x_0:\dotsc:x_{n-1})$, Onde $P_{0,n}\in \mathbf{P}^n$ é o ponto $(0:0:\dotsc:0:*)$. Como apontado em Quantos buracos uma projeção de uma variedade algébrica pode ter? , ou (a)$\dim(\overline{\pi_n(V)})=\dim(V)$ e $\pi_n(V)$ contém $\overline{\pi_n(V)}\setminus W$, Onde $W$ é uma variedade de dimensões $\leq \dim(V)-1$ e grau $\leq \deg(V)$, ou (b) $V$ é um cone cujo vértice contém $P_{0,n}$, e entao $\pi_n(V)$ é fechado e de dimensão $\dim(V)-1$. Claramente$\deg(\overline{\pi_n(V)})\leq \deg(V)$.

Nós iteramos: nós definimos $\pi_{n-1}:\mathbf{P}^{n-1}\setminus P_{0,n-1}\to\mathbf{P}^{n-2}$exatamente como acima. Se estamos agora no caso (a), temos$\dim(\overline{\pi_{n-1}(\pi_n(V))})=\dim(\overline{\pi_n(V)})$, e $\pi_{n-1}(\pi_n(V))$ contém $\pi_n(\pi_{n-1}(V))\setminus (W' \cup \overline{\pi_{n-1}(W)})$, Onde $\deg(W')\leq \deg(V)$ e $\dim(W')\leq \dim(\overline{\pi_n(V)})-1$, e $W$é como acima (e está vazio se estivéssemos no caso (b) antes). Se estivermos no caso (b), não precisamos remover uma nova variedade$W'$, e também notamos que o que devemos remover $\pi_{n-1}(\overline{\pi_n(V)})$ é a variedade que consiste nos pontos de $\pi_{n-1}(W)$ cuja pré-imagem sob $\pi_{n-1}$ está contido em $W$. Essa variedade é vazia ou de dimensão$\leq \dim(W)-1$; seu grau é presumivelmente$\leq \deg(W)$.

Nós iteramos ainda mais e pronto.