Que tipo de processo estocástico satisfaz $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ para todos $t,s \in \mathbb R^+$?

Question

Deixei $X=(X_t)_{t\in \mathbb R^+}$ feijão $L^2$processo estocástico. O que isso diz sobre$X$ E se $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ para todos $t,s \in \mathbb R^+$? O que isso diz sobre$X$ E se $Var[X_t]Var[X_s] \neq Cov[X_t,X_s]$ para todos $t,s \in \mathbb R^+$ ?

Existe uma classe especial de processos que satisfaça um dos itens acima?

Agora repetimos as mesmas perguntas, mas supomos que $X$é um processo gaussiano. Aprendemos algo novo?

Answer 1

Com $s=t$ a condição é $$Var(X_s)=Var(X_s)^2,$$ que força, que $Var(X_s)=1$ para todos $s$. E assim$$Cov(X_s,X_t) = 1^2 = \sqrt{Var(X_s)}\sqrt{Var(X_t)},$$ o que implica que a correlação entre $X_s$ e $X_t$ é $1$ para todos $s$ e $t$, e portanto $X_t$ é quase certamente uma função linear de $X_s$, isso é $$X_t = aX_s + b$$ para alguns $a$ e $b$. É claro a partir da condição de covariância, que$a=1$ e podemos ver que $b=\mathbb{E}[X_t - X_s]$. Assim, podemos escrever$$X_t = X_0 + f(t),$$ Onde $f(t)$ é a função determinística $f(t)=\mathbb{E}[X_t-X_0]$. Também qualquer processo definido como$X_t := X_0 + f(t)$ com $Var(X_0)=1$ e $f$ alguma função arbitrária irá satisfazer a condição dada.