Realização do grupo metacíclico de ordem 21

Question

Gostaria de entender os grupos de ordem nonabelianos$pq$(com$q | p-1$) Melhor. Por$q=2$este é o grupo diedro com o qual me sinto confortável.

Para cada$pq$Eu sei que existe exatamente um desses grupos. É um produto semidireto. Sua estrutura Sylow é$n_q = p$e$n_p = 1$. Eu não sei muito sobre eles.

Calculei as seguintes ordens de grupo interessantes 21, 39, 55, 57, 93. E vou perguntar sobre 21.

Qual é a simetria do grupo nonabeliano de ordem 21?

Eu tenho pesquisado isso e não encontrei uma boa resposta. Não acho que seja a simetria das rotações de um poliedro ou qualquer quebra-cabeça torcido. Eu vi que o avião fano tem 7 linhas e 3 pontos em cada linha, mas não sei se pode ser usado. Esses grupos estão agindo naturalmente em algum tipo de código de design? Ou existe uma maneira melhor de entendê-los em um nível mais profundo? obrigado!

Answer 1

Em cada campo$F$há um grupo de transformações afins

$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$

agindo na linha afim$\mathbb{A}^1(F)$(que como um conjunto é apenas$F$). Equivalentemente, este é um grupo de$2 \times 2$matrizes

$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$

Sobre um campo finito$F = \mathbb{F}_q$obtemos uma família de nonabelian (exceto quando$q = 2$) grupos de ordem$q(q - 1)$que são produtos semidiretos construídos a partir da ação de$\mathbb{F}_q^{\times}$sobre$\mathbb{F}_q$por multiplicação. Além disso, podemos considerar subgrupos deste grupo, restringindo$a$a um subgrupo de$F^{\times}$. Todos os grupos nos quais você está interessado podem ser construídos dessa maneira.

O grupo específico no qual você está interessado ocorre quando$q = 7$e$a$está restrito a estar no subgrupo$(\mathbb{F}_7^{\times})^2$de elementos quadrados de$\mathbb{F}_7^{\times}$. É um grupo Frobenius e segundo essa página atua também no plano Fano.