Reconstruções de grupos da categoria de $G-\mathbf{Sets}$; Construção de um homomorfismo de grupo [duplicado]

Dec 30 2020

Tento apresentar uma prova da seguinte afirmação, mas acho um pouco difícil. Espero poder obter ajuda de alguém neste site. Acho que é disso que eles dão uma prova, em Ncatlab - Dualidade Tannakiana (na seção$G-\mathbf{Sets}$) Mas eu realmente não posso seguir essa prova:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.

Declaração. Deixei$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ seja o functor esquecido, onde $G-\mathbf{Sets}$ é a categoria dos conjuntos equipados com uma ação coletiva do grupo $G$. Estou tentando entender a prova do seguinte fato$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

O que eu fiz

Eu consegui construir um mapa $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ Isso foi feito pela seguinte regra $\varphi(g)=\eta^g$, Onde $\eta_S^g:S\to S$ é definido por $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. É fácil verificar se isso dá uma transformação natural de$F$ para $F$ e que também é um homomorfismo de grupo.

No entanto , a outra forma é mais problemática para mim. Quero encontrar um mapa$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ Ou seja, dada uma transformação natural $\eta$, Quero atribuí-lo a um elemento de grupo $g\in G$.

A transformação natural $\eta$ é definido pelo seguinte diagrama comutativo $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ Onde $\eta_X$ é um morfismo em $\mathbf{Sets}$ e $f:X \to Y$ é um morfismo na categoria $G-\mathbf{Sets}$. Desde a$F$ é apenas o functor esquecido, o diagrama acima se reduz a $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Preocupações e perguntas

Na definição de transformação natural - eu tenho isso - dado qualquer $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$é um morfismo. Um natural$G-\text{Set}$ é simplesmente pegar $X=G$ e deixá-lo agir sobre si mesmo através da estrutura do grupo: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ Então, o diagrama comutativo agora se torna $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Comentário 1. Eu lembro que um professor me disse que o morfismo$\eta_G$ é totalmente compreendido pelo que faz ao elemento de identidade $e\in G$ (a partir do qual eu deveria ser capaz de entender como construir o homomorfismo de grupo), $$e\mapsto \eta_G(e).$$

Eu realmente não entendo o que isso significa. Acho que não entendi algo sobre o functor esquecido. Quando penso sobre o functor esquecido$F:A\to B$, Acho que o functor esquece tudo o que está presente em $A$, mas não está presente em $B$. No nosso caso, esquece a estrutura das ações do grupo. E então, em particular, não posso usar a propriedade de ser um$G$mapa -equivariante. Apenas as propriedades de ser um mapa teórico de conjuntos.

Questão 1.

E se $\eta_G(e)=s$, e se eu gostaria de entender o que o professor me disse, acho que raciocinaria algo da seguinte maneira $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$onde eu na segunda igualdade usei a propriedade de ser um homomorfismo de grupo. Mas, por outro lado, se quero tratá-lo como um homomorfismo de grupo, então acho que tenho que fazer isso para começar. Isso é,$\eta_G$deve mapear identidades em identidades (para ser consistente em meu raciocínio). Então, acho que meu argumento falha.

Minha pergunta é: o que ele quer dizer?

Não acho que o que fiz acima faça sentido. Mas acho que tenho visto outros usando as propriedades dos morfismos na categoria$A$, após ter aplicado o functor esquecido, daí o meu raciocínio. Mais uma vez, não tenho certeza do que estou fazendo. Portanto, posso muito bem estar errado.

Questão 2. Como isso me diz onde mapear uma transformação natural?

Dado um $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, onde eu mapeio? Eu mapeio como segue$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ Fazendo isso, eu sei que já disse exaustivamente onde mapear cada transformação natural?

Questão 3. Acho que também, de alguma forma, devo usar o diagrama comutativo na definição da transformação natural quando construo o homomorfismo de grupo, o que não fiz? Acho que minha sugestão acima não é a maneira correta de fazer isso. Você tem alguma ideia de como posso construir o mapa?

Eu ficaria muito feliz se pudesse ter a ajuda de alguém neste site para entender melhor isso. Porque estou realmente perdido e confuso.

Muitas felicidades,

Joel

Respostas

2 runway44 Dec 30 2020 at 09:10

Vou usar a esquerda $G$-conjuntos, não está certo.

Questão 1 e 3 .

Você não pode escrever $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$, não estamos assumindo $\eta_G:G\to G$ é um homomorfismo de grupo, só que é um morfismo de $G$-conjuntos. Você pode usar isso para dizer$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ embora (que você inverteria a ordem se insistir nas ações corretas do grupo).

Considere seu diagrama comutativo novamente:

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

Aqui, podemos deixar o mapa $G\to Y$ seja a avaliação em$y$ mapa $g\mapsto gy$ Onde $y\in Y$ é fixo (observe que o mapa de avaliação também é útil para estabelecer o teorema do estabilizador de órbita - suas fibras são cosets de $y$estabilizador de). Em seguida, perseguimos o diagrama a partir de$e\in G$ no canto superior esquerdo.

Se seguirmos o caminho superior direito, obtemos $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. No caminho inferior esquerdo,$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. Portanto, podemos igualar$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. Ou seja, todo automorfismo$\eta$ aplicado a um $G$-conjunto $Y$ está apenas aplicando um determinado elemento de grupo $\eta_G(e)\in G$.