Representação matricial dos grupos não-fabianos de ordem $p^3$?

Question

Quando você olha para grupos de ordem $p^3$ (para estranho $p$) há $2$os não-babelianos. Um é o grupo Heisenberg, que pode ser visto como um produto semidireto de$C_p \times C_p$ e $C_p$.

Com base em alguns cálculos com GAP, vejo que o outro é um produto semidireto de $C_{p^2}$ com $C_p$.

Este outro grupo pode ser visto como um grupo de matriz familiar?

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gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"

Answer 1

Em uma palavra, 'não'. Notar que$\mathrm{GL}_n(q)$ para $q$ um poder de $p$ não pode ter nenhum elemento de ordem $p^2$ a menos que $n>p$. Assim como$p$ cresce o tamanho do grupo de matriz tem que crescer.

É uma história semelhante sobre campos de características não $p$. Qualquer$1$representações dimensionais do grupo têm o centro no kernel. As únicas representações fiéis têm grau pelo menos$p$.

Portanto, este grupo não tem representação fiel de grau inferior a $p$ sobre qualquer campo.

Edit: Não há representação de matriz sobre qualquer campo, mas há sobre um anel . Este grupo é fornecido por$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$

Eu descobri isso olhando as anotações de Keith Conrad agora há pouco.