Se cada função contínua de valor real definida em $K$ é limitado, então $K$ é compacto

Question

Estou tentando resolver a seguinte questão da seção de análise real :

1. Deixei $K$ ser um subconjunto não vazio de $\mathbb R^n$ Onde $n > 1$. Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira?

(I) Se $K$ é compacto, então cada função contínua de valor real definida em $K$ é limitado.

(II) Se cada função contínua de valor real definida em $K$ é limitado, então $K$ é compacto.

(III) Se $K$ é compacto então $K$ está conectado.

A prova para (I) é padrão. Estou tentando ver (II) por contradição.

É possível enquadrar uma prova para (II) ao longo destas linhas:

Suponha $K \subseteq \mathbb R^n$não é compacto. Então existe uma tampa aberta$\mathcal C$que não tem subcobertura finita. Mas$f: K \to \mathbb R$é contínuo. (...) Contradição.

Answer 1

Um subconjunto de $\mathbb{R^n}$é compacto se e somente se for fechado e limitado, este é um resultado padrão. Agora, suponha que cada função contínua de valor real definida em$K$é limitado. Em particular, a função$f(x)=||x||$ é limitado em $K$, conseqüentemente $K$ é um conjunto limitado.

Então só temos que provar $K$está fechado. Bem, suponha que não seja. Então há algum ponto$y\in\overline{K}\setminus K$. Definir$f:K\to\mathbb{R}$ de $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. Esta é uma função contínua que não é limitada, uma contradição.

Answer 2

Gostaria apenas de acrescentar que, se o intervalo fosse em reais dotados com a métrica limitada, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, então a afirmação não é verdadeira para espaços métricos, mesmo se o $Dom(f)$ satisfez a propriedade Heine-Borel.