Se$f$tem um pólo de ordem$m$no$z_0$, então$\frac{1}{f}$tem uma singularidade removível em$z_0$.
Meu livro de texto diz que
- Se$f$tem um pólo de ordem$m$no$z_0$, então$\frac{1}{f}$tem uma singularidade removível em$z_0$, e se definirmos$(\frac{1}{f})(z_0) = 0$, então$\frac{1}{f}$tem um zero de ordem$m$no$z_0$.
Mas eu estou pensando que, desde$f = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$Onde$g(z)$é analítico e diferente de zero em$z_0$,$\frac{1}{f}$, que é igual a$\frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$, é certamente analítico em$z_0$e tem um zero de ordem$m$no$z_0$. Se é analítico em$z_0$, então$z_0$não pode ser um ponto de singularidade.
Por que meu livro de texto diz$z_0$é uma singularidade removível e define$(\frac{1}{f})(z_0) = 0$?
Respostas
sua função$\frac{1}{f}$é definido apenas em uma vizinhança de$z_0$que exclui$z_0$então você tem que realmente defini-lo. Na verdade,$\frac{1}{f}= \frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$faz$\textbf{not}$fazer sentido em$z_0$.
Nós notamos que$z_0$não está no domínio de$\frac{1}{f}$desde$f(z)$não é definido a priori em$z_0$. Esta situação pode ser remediada definindo $\frac{1}{f}(z_0)$de maneira consistente com a continuidade, a saber:
nós definimos
$\left (\dfrac{1}{f} \right )(z_0) = 0 \tag 1$
Porque
$\displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{(z - z_0)^m}{g(z)} = 0. \tag 2$