Sequência constante de somas parciais em uma série divergente

Question

Na série harmônica, temos $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ para todos $n$, o que implica divergência. No entanto, as somas parciais de$n$ para $2n$, avaliado em $n$, igual $\ln(2)$ para todos $n$. Isso não implica que a sequência de somas parciais convergiu para o valor$\ln(2)$, que por sua vez, implica que a série deve convergir? Eu sinto que não estou entendendo algo fundamental sobre o critério de Cauchy e convergência etc - isso não é uma sequência de somas parciais, devido às coisas engraçadas que estamos fazendo com o intervalo? Obrigado pela ajuda.

Answer 1

Em primeiro lugar, uma coisa menor: as somas parciais de $n$ para $2n$ abordagem $\ln{2}$, mas nunca será igual a ele. (Por quê?)

Em segundo lugar, mais importante: na verdade, o que você mostrou é que a sequência de somas parciais $\{ H_n\}$não é Cauchy e, portanto, não é convergente. Na verdade, se fosse Cauchy, então por definição$|H_{2n} - H_n| \to 0$. Isso é porque para qualquer$\epsilon > 0$, teria que existir $N(\epsilon)$ para qual $|H_m - H_n| < \epsilon$ sempre que $m, n > N(\epsilon)$; nós então escolhemos$m = 2n$ Aqui.