“ $\Sigma_1^1$-Peano aritmética ”- fixa $\mathbb{N}$?

Question

Deixar $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$seja a teoria na lógica de segunda ordem obtida pela extensão dos axiomas usuais de Peano de primeira ordem para incluir$\Sigma^1_1$fórmulas no esquema de indução. Minha pergunta é:

Faz $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ tem algum modelo fora do padrão?

Observe que um modelo de $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ é exatamente um modelo de $\mathsf{PA}$ sem (não trivial adequado) $\Sigma^1_1$-cortes definíveis.

Se substituirmos $\Sigma^1_1$ com $\Pi^1_1$ a resposta é imediatamente negativa, uma vez que o conjunto de elementos padrão de um modelo de $\mathsf{PA}$ é $\Pi^1_1$. No entanto, nada semelhante parece funcionar para$\Sigma^1_1$ (embora eu possa facilmente estar perdendo algo óbvio).

Uma observação rápida é que $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$implica verdadeira aritmética de primeira ordem . Dada uma fórmula de primeira ordem$\varphi(x)$, deixar $\hat{\varphi}(x)$ seja o $\Sigma^1_1$ fórmula "Há um corte contendo $x$ de modo que cada elemento do corte satisfaça $\varphi$." Se $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ nós trivialmente temos $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; por indução sobre a complexidade de$\varphi$ podemos mostrar que se cada número natural padrão satisfizer $\varphi$ então $0\in\hat{\varphi}^M$ e consequentemente $M\models\forall x\varphi(x)$ (que então dá $M\equiv\mathbb{N}$) No entanto, não vejo como usar isso para obter categoricidade. Na verdade, tanto quanto eu sei, é possível que, por exemplo, todo ultrapower não trivial de$\mathbb{N}$ satisfaz $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Observe que$\Sigma^1_1$as sentenças são preservadas sob ultra-poderes; no entanto, uma instância de indução para um$\Sigma^1_1$ fórmula é $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ e $\Pi^1_1$ as sentenças não são preservadas sob ultrapoderes, então isso não parece ajudar.)

Answer 1

Se você permitir o seu $\Sigma^1_1$ fórmulas para ter parâmetros, então PA$_{\Sigma^1_1}$tem apenas o modelo padrão. Para provar isso, use o$\Pi^1_1$ definição de padronização para produzir um $\Sigma^1_1$ Fórmula $\sigma(x,y)$ dizendo isso $x<y$ e $y-x$ não é padrão, ou seja, $x$ está infinitamente muito abaixo $y$. É fácil mostrar que$\sigma(x,y)$ implica $\sigma(x+1,y)$. Por isso$\Sigma^1_1$ indução, se $\sigma(0,y)$ então $\forall x\,\sigma(x,y)$ e em particular, $\sigma(y,y)$, o que é um absurdo. Então$\neg\sigma(0,y)$. Mas isso significa$y$ é padrão.