Sob quais condições o domínio da função sobrejetiva $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ pode ser dividido st as restrições são bijetivas?
Esta é uma pergunta complementar a esta .
Como nem sempre é possível construir tal partição, gostaria de saber se existem restrições adicionais que poderíamos impor para que a partição desejada exista no $n$configuração dimensional ($n\geq 1$)
Respostas
A resposta trivial a essa pergunta é tautológica: tal partição existe se e somente se existir.
Uma resposta mais informativa é: quase nunca (a menos que tal partição obviamente exista). Para ser mais específico, considere o seguinte contra-exemplo, quando essa partição não existe. Defina a função$f\colon[0,1]^2\to[0,1]^2$ pela fórmula $$f(x,y):=\Big(x,\frac{y(y-g(x))^2}{(1-g(x))^2}\Big)$$ para $(x,y)\in[0,1]^2$, Onde $g\colon[0,1]\to[0,1/2]$é (digamos) uma função estritamente crescente suave. Então a função$f$ é suave e sobrejetiva.
No entanto, para qualquer conjunto finito de retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados, de modo que a união desses retângulos seja $[0,1]^2$, a restrição de $f$a pelo menos um desses retângulos não é bijetiva. Na verdade, desde$g$ está aumentando estritamente, o gráfico $G:=\{(x,g(x))\colon x\in[0,1]\}$ do $g$tem apenas finitamente muitos (na verdade, no máximo dois) pontos no limite de qualquer um desses retângulos. Uma vez que temos apenas um número finito desses retângulos, haverá um ponto$(u,v)=(u,g(u))\in G$ que fica no interior de um desses retângulos, digamos retângulo $R$. Neste retângulo$R$, a função $f$ não será bijetivo - porque para qualquer pequeno o suficiente $t>0$ a equação $f(x,y)=(u,t)$ terá pelo menos duas soluções distintas em $R$. Na verdade, a equação$f(x,y)=(u,t)$ pode ser reescrito como o sistema de equações $$x=u$$ e $$t=\frac{y(y-v)^2}{(1-v)^2},\tag{1}$$ e para cada pequeno o suficiente $t>0$ a equação (1) tem duas raízes distintas $y\approx v\pm(1-v)\sqrt{t/v}$, perto de $v$.
Qual é a lição deste exemplo? Neste exemplo, podemos nos referir ao gráfico$G$ da função $g$como a curva ramificada, perto da qual a bijetividade não pode se manter. A propriedade dessa curva ramificada que foi usada no exemplo é que a curva tem apenas um número finito de pontos no limite de qualquer retângulo. Portanto, a menos que uma partição desejada obviamente / manifestamente exista, sempre teremos uma curva de ramificação que possui apenas um número finito de pontos na fronteira de qualquer retângulo, e então o tipo de partição desejada não existirá.
A discussão acima diz respeito à dimensão $n=2$. O caso$n>2$ é semelhante - nesse caso, teremos hipersuperfícies ramificadas em vez de curvas ramificadas.
Na pergunta vinculada, você disse que o problema surgiu de sua pesquisa pessoal. Eu acho que sua pesquisa tomou uma direção errada, e que você pode realmente considerar as partições não necessariamente em retângulos.