Solução do exercício de funcionalidade de geração 1a.

Aug 16 2020

A questão é:

  1. Encontre as funções geradoras de séries de potência ordinárias de cada uma das seguintes sequências, de forma simples e fechada. Em cada caso, a sequência é definida para todos$n\geq0$. (uma)$a_n=n$

Esta é a função$A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$, que reescrevo como:$A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

Cada um dos termos é uma série geométrica, então escrevi isso como

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

Portanto, minha resposta seria$A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. No entanto, a chave de resposta na parte de trás do livro diz que a resposta é "$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$". Embora minha função de geração pareça o RHS da chave de resposta, não entendo o que o LHS significa. Há algo que estou perdendo aqui?

Respostas

2 FormulaWriter Aug 16 2020 at 17:15

o$LHS$é simplesmente outra maneira de obter a mesma função geradora que você encontrou. Diz: pegue a derivada de$1/(1-x)$depois multiplique por$x$.