Todas as formas simétricas bilineares não degeneradas em um espaço vetorial complexo são isomórficas

Aug 16 2020

Todas as formas simétricas bilineares não degeneradas em um espaço vetorial complexo são isomórficas. Isso significa que, dada uma forma simétrica bilinear não degenerada em um espaço vetorial complexo, você pode escolher uma base para o espaço vetorial de modo que a representação da matriz da forma bilinear seja a matriz identidade? Alguém pode me ajudar a me explicar o porque disso?

Estou pensando que uma matriz com entradas em$\mathbb{C}$terá uma equação característica que se divide em fatores lineares (com multiplicidades) e, portanto, será diagonalizável, mas ainda não consegue juntar essas peças. Insights apreciados!

Respostas

3 BenGrossmann Aug 16 2020 at 19:31

A resposta é sim.

Primeiro, uma prova de que as formas bilineares são isomórficas. Observe que é suficiente provar que isso vale para$\Bbb C^n$.

Primeiro, afirmo que toda matriz invertível, complexa e simétrica pode ser escrita na forma$A = M^TM$para alguma matriz complexa$M$. Isso pode ser visto, por exemplo, como consequência da fatoração de Takagi .

Agora deixe$Q$denotar uma forma bilinear simétrica sobre$\Bbb C^n$, e deixar$A$denotar sua matriz no sentido de que$Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. Deixar$Q_0$denotam a forma bilinear canônica definida por$Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. Nós escrevemos$A = M^TM$para alguma matriz complexa invertível$M$.

Definir$\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$por$\phi(x) = Mx$. É fácil verificar que$\phi$é um isomorfismo de espaços de produtos bilineares, de modo que os dois espaços são de fato isomórficos.

Com tudo isso estabelecido: podemos ver que a mudança de base$y = Mx$é tal que$Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.