Traços de operador na quantização de Kontsevich
Na quantização, estuda-se mapas de funções no espaço de fase para operadores atuando no espaço de Hilbert. Vamos consertar um desses mapas e chamá-lo$Q$.
A quantização de deformação é baseada na ideia de que $Q$ pode ser estudado indiretamente, dotando o espaço vetorial linear de funções sobre o espaço de fase com um produto estelar não comutativo:
$$ f \star g = Q^{-1} \left( Q(f) \,Q(g) \right). $$
Kontsevich fornece uma fórmula explícita para o produto estrela que pode ser aplicada a qualquer espaço de fase compacto e fornece uma álgebra associativa com comportamento correto no$\hbar \rightarrow 0$limite. Portanto, é freqüentemente afirmado que a fórmula de Kontsevich resolve o problema de longa data de provar que qualquer variedade simplética compacta admite uma quantização.
No entanto, o outro ingrediente importante da Mecânica Quântica é o traço de um operador. Os traços são essenciais para fazer previsões físicas, ou seja, os valores esperados dos observáveis são traços dos operadores correspondentes multiplicados pela matriz de densidade.
A fórmula de Kontsevich não me dá um mapa de quantização, apenas o produto estelar. Então, como faço para calcular$\text{tr} Q(f)$ por apenas saber $f$?
Uma possível resposta que vejo é que a fórmula clássica é válida: $$ \text{tr} Q(f) = \int \omega^{\wedge n} f. $$
Aqui $\omega^{\wedge n} = \omega \wedge \omega \wedge \dots \wedge \omega$ é a forma de volume associada à forma simplética $\omega$, e a integral está sobre o espaço de fase.
Mas eu nunca ouvi ninguém dizer definitivamente que de fato esta integral do espaço de fase é a contraparte do traço do operador na quantização de deformação, e eu não consigo encontrar um bom argumento para mostrar que $\mathcal{O}(\hbar)$ correções não aparecem.
Minhas perguntas são:
- Faz $\mathcal{O}(\hbar)$ correções na integral do espaço de fase aparecem em geral?
- Em caso afirmativo, existe uma fórmula explícita para o traço?
- Se não, como me convenço disso?
Respostas
A Wikipedia diz as seguintes propriedades para determinar com exclusividade a operação de rastreamento (até múltiplos escalares):
- $\mathrm{tr}(cA) = c\mathrm{tr}(A)$
- $\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)$
- $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$
Para qualquer linear $Q$, $\mathrm{tr} Q(f)$ irá satisfazer todas as três propriedades. $\int f d\Omega $claramente satisfaz (1) e (2). Para (3), queremos mostrar que$\int f \star g d\Omega = \int g \star f d\Omega $. É fácil mostrar que o$O(1)$ e $O(\hbar)$ termos desaparecem para suficientemente agradáveis $f,g$(usando integração por partes e a equivalência de parciais mistos). No entanto, eu não entendo os gráficos de Kontsevich bem o suficiente para estender com segurança este argumento para ordens superiores$\hbar$. Se você encontrar uma referência ou uma explicação, me avise. Assumindo que o argumento se estende, descobrimos que$\mathrm{tr} Q(f)$ e $\int f d\Omega $ são equivalentes até um múltiplo escalar.
Os valores de expectativa são dados por $\mathrm{tr}(Q(f)\rho)$, então podemos escolher normalizar nossa operação de rastreamento de forma que $$\mathrm{tr}(\rho) = \int Q^{-1}(\rho)d\Omega = 1$$Isso deve ser o suficiente para determinar com exclusividade toda a física. Você poderia definir em um$O(\hbar)$ termo na fórmula integral original, mas uma vez que você normaliza sua matriz de densidade, ela não tem efeito físico.