Transformação unitária quântica

Question

Na mecânica quântica, sabemos $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

mas porque é $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

Quer dizer $UHU^\dagger = H$? eu acho que$UU^\dagger H = H$, mas por que podemos mudar a ordem das matrizes aqui?

Answer 1

Você está pensando demais nisso, assumindo $U$ é unitário:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ não precisa ser o operador de evolução do tempo e não precisa comutar com $H$para que isso funcione, pode ser qualquer unitário. Isso é apenas dizer que se você escrever$\psi$em outra base, ele evolui com o hamiltoniano escrito na nova base. (Ou equivalentemente que um vetor girado evolui com o hamiltoniano girado).

Answer 2

1. Se o Hamiltoniano $\hat{H}$ não depende de tempo, e $U$ é suposto ser o operador de evolução no tempo, então $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ que comuta$^1$ com $\hat{H}$, de modo a $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$cf. Pergunta de OP.

2. Se o Hamiltoniano $\hat{H}$dependem do tempo, então eqs. (A) e (B) precisam ser modificados, cf. por exemplo, esta postagem Phys.SE.

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$^1$ Uma função $f(\hat{H})$ do $\hat{H}$ comuta com $\hat{H}$, cf. por exemplo, este e este posts Phys.SE.

Answer 3

user2723984 está correto. No entanto, a 2ª parte da sua pergunta não foi resolvida: se o hamiltoniano comuta consigo mesmo em momentos diferentes, então o único operador em$U$ é $H$ e como $H$ comuta consigo mesmo, a ordem dos operadores pode então ser alterada.