Triângulos congruentes de ladrilho duplo com pouco mais em comum

Question

Quando você realmente deseja ladrilhar mais de uma camada, mas o ladrilho triplo é uma coisa boa demais, certamente o meio termo é o ladrilho duplo .

• Como pode um mosaico de mais de 900 seções ser lado a lado com triângulos congruentes ao longo das 6 diretrizes listadas abaixo?

Aqui estão dois exemplos de ladrilhos duplos com triângulos congruentes. O primeiro exemplo demonstra a maioria das diretrizes desse quebra-cabeça, enquanto o segundo também segue as diretrizes mais difíceis.

No primeiro exemplo, oito triângulos sobrepostos de 26,6 ° - 63,4 ° - 90 ° revestem um mosaico quadrado de 15 seções onde:

1. “Ladrilho duplo” significa que cada seção de um mosaico é completamente coberta por porções de exatamente dois ladrilhos e que todos os ladrilhos estão completamente dentro desse mosaico.

2. Os ladrilhos são triângulos congruentes .

3. Cada ladrilho é orientado exclusivamente.

4. O mosaico tem bordas contíguas em que todas as seções podem ser visitadas ao longo de um único caminho ininterrupto que permanece dentro do mosaico enquanto cruza as bordas dos ladrilhos de seção a seção sem tocar em nenhum vértice.

No segundo exemplo, quatro triângulos congruentes sobrepostos de 30 ° - 60 ° - 90 ° revestem um mosaico triangular de 4 seções onde, além disso:

1. Cada ângulo é um número inteiro de graus.

2. Nenhuma linha distinta é paralela. (Bordas paralelas dos ladrilhos podem, no entanto, estar ao longo de uma única linha contínua.)

Desafios de recompensa, realizabilidade desconhecida

• Colocar lado a lado um mosaico diferente do segundo exemplo acima, que segue todas as 6 diretrizes e não tem orifícios.

• Ladrilho duplo um mosaico que segue todas as 6 diretrizes e cujo contorno não é bilateralmente simétrico .

(Todos os detalhes interessantes, incluindo aqueles com menos de 901 seções e / ou aqueles que desconsideram algumas das diretrizes acima, merecem votos de aprovação.)

Answer 1

Tenho um palpite de que a solução pretendida pode ser algo como

Isso é 45 gramas, 45 sendo o maior número ímpar ainda permitindo ângulos inteiros. Ímpar para evitar linhas paralelas. Torcendo ao máximo os 45 gramas, isto é, escolhendo aquele com o número máximo de voltas completas (22), maximizamos o número de seções em que cada peça se divide em (21) para um total logo acima de 900. A figura inteira por construção não tem linhas paralelas. As duas camadas são obtidas girando o triângulo em torno do centro (em particular, todas são congruentes e orientadas de forma diferente) e espelhando. A continuidade da borda também é fácil de verificar, já que temos tudo, exceto o anel mais interno e o território fora dos dois anéis mais externos dos pontos de interseção, para se mover livremente. Por favor, culpe OP se você achar a imagem visualmente muito ocupada ;-D

Para maior clareza, aqui estão alguns exemplos menores:

n = 7: sem borda contínua, ângulos não inteiros, (n-3) / 2 = 2 seções por bloco

n = 9: sem borda contínua, ângulos inteiros, (n-3) / 2 = 3 seções por bloco

n = 11 : borda contínua, ângulos não inteiros, (n-3) / 2 = 4 seções por ladrilho

Answer 2

(Wiki da comunidade - sinta-se à vontade para adicionar ou editar.)

Em vez de dicas do enigma, aqui estão algumas quase soluções que seguem a maioria das diretrizes, mas não todas. Dez triângulos congruentes de 36 ° - 72 ° - 72 ° lado a lado duplo um mosaico contíguo de 10 seções, mas os triângulos não são orientados exclusivamente e o mosaico tem 5 pares de linhas paralelas :

Doze triângulos congruentes de 30 ° - 60 ° - 90 ° exclusivamente orientados, um mosaico contíguo de 12 seções que ainda inclui 6 pares de linhas paralelas :