$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, método de características para equação de fluxo de tráfego com dados iniciais de riemann

Question

Considere a equação não conservativa$$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$Onde$a$é uma constante e$f(u)=u(1-u)$.

Estou tentando resolver esta equação pelo método das características com a condição inicial$$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$Pelo método das características, tenho$\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, isso significa que a equação de características é$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$junto com$\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$

Resolvendo essas equações, cheguei a$u(x,t)=ax+ g(t)$Onde$g$é alguma função de$t$sozinho. Não sei como prosseguir.

Consegui resolver isso quando tínhamos a equação$$u_t+(f(u))_x=0$$como lá$u$foi constante ao longo da linha de características. Agradecemos antecipadamente por qualquer ajuda.

Answer 1

Observe que os dados iniciais$u(x,0)$consiste em uma descontinuidade de salto de$u_l$para$u_r$, portanto, este problema de valor inicial é um problema de Riemann . O popular modelo de fluxo de tráfego Lighthill-Witham-Richards (LWR) é recuperado quando$a=0$, e a solução Riemann correspondente é descrita neste post . Abordemos o caso do arbitrário$a$, por exemplo, seguindo uma abordagem semelhante a esta postagem . Contexto$v = 1 - 2u$fornece o PDE$$ v_t + vv_x = -2av $$para o qual o método de características produz$v = c_1e^{-2at}$,$\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$e$$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$que é equivalente à solução encontrada na resposta de @Dmoreno. No entanto, para dados iniciais descontínuos, o método das características não é suficiente (só é válido quando$u$é liso). Assim, usamos métodos apropriados para resolver este problema no sentido fraco, veja post relacionado . Aqui, encontramos a solução de ondas de choque$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$E se$v_l > v_r$, e a solução de onda de rarefação$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$E se$v_l < v_r$. Pode-se verificar que a mesma solução$u = \frac{1-v}2$é obtido abordando o problema PDE inicial diretamente (sem alterar variáveis).

Answer 2

A partir de$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$você consegue$u - ax = c_1$, e de$a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$você obtém$u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. Deixar$c_2 = f(c_1)$para derivar uma solução implícita para$u$, determinado pela equação

$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$

A tarefa agora é determinar$f$da condição inicial e, eventualmente, resolver para$u$. Você pode tirar daqui?