Um grupo não trivial finito solucionável tem um subgrupo de índice de potência principal para cada divisor principal?

Question

É sabido que todo subgrupo máximo de $G$ é de índice de potência principal se $G$ é um grupo resolvível finito não trivial.

Minha pergunta é: podemos provar que para cada primo$r\in\pi(G)$ existe um subgrupo máximo de $G$ de índice um poder de $r$?

Tentei provar, mas descobri que cometi um erro na minha prova. Aqui está minha tentativa:

Definir $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ Nós afirmamos que $\pi^*$é um conjunto vazio. Assuma isso$\pi^*$não está vazio. Então, os índices dos subgrupos máximos são exatamente potências dos primos em$\pi(G)\setminus\pi^*$. Pegue um Sylow$q$-subgrupo $S_q$ para cada $q\in\pi(G)$. Para$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$, pegue um subgrupo máximo arbitrário $M$ do $G$ de tal modo que $|G:M|$ é um poder de $p$. Nós temos$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ Isso implica que $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ não está contido em nenhum subgrupo máximo de $G$. Mas$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ está devidamente contido em $G$, o que é uma contradição.

Meu engano :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ não é necessariamente um subgrupo de $G$, então, na verdade, não consigo obter nenhuma contradição.

Você poderia me dar algumas idéias? Acho que talvez deva provar de uma maneira diferente. Qualquer ajuda é apreciada. Obrigado!

Answer 1

Este é o teorema de Hall sobre grupos solúveis. Afirma:

Um grupo finito é solúvel se e somente se, para cada $p\mid |G|$, existe um $p'$-subgrupo $H$ cujo índice é um poder de $p$.

Um subgrupo $H$ de tal modo que $|H|$ e $|G:H|$são coprime é chamado de subgrupo Hall , e se$\pi$ é um conjunto de primos tais que $p\in \pi$ divide $|G|$ se e somente se dividir $|H|$, então $H$ é um salão $\pi$-subgrupo.

Provar isso sem dicas é um pequeno desafio. Você pode procurar em seu livro favorito ou seguir o esboço abaixo para uma direção. Deixei$\pi$ ser um conjunto de primos, e nosso objetivo é provar a existência de um Hall $\pi$-subgrupo em $G$.

1. Deixei $K$ ser um subgrupo normal mínimo de $G$. E se$K$ é um $\pi'$-subgrupo então tudo está feito.
2. E se $K$ é um $p$-subgrupo para $p\in \pi$, então você pode usar o teorema de Schur-Zassenhaus para a pré-imagem de um Hall $\pi$-subgrupo em $G/K$.

Você pode encontrar uma prova completa aqui , p.28.

Answer 2

Sim, para cada conjunto de primos, o grupo finito solucionável contém um subgrupo Hall cuja ordem é divisível apenas por esses primos e o índice não é divisível por nenhum deles. Agora pegue o conjunto de todos os primos que dividem a ordem do grupo, exceto um. Um subgrupo Hall correspondente é o que você precisa.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup