Um problema de geometria difícil envolvendo divisões harmônicas
Deixe triângulo agudo $ABC$. Deixei$A_1$ e $A_2$ as interseções do círculo de diâmetro $(BC)$ e a altitude de $A$ para $BC$ ($A_1$ está mais perto de $A$ do que $A_2$) Defina pontos de maneira semelhante$B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$. Deixei$A'$ a interseção de $B_1C_2$ e $B_2C_1$. Defina pontos de maneira semelhante$B'$ e $C'$. Provar que$AA'$, $BB'$ e $CC'$ concordar.

Minha ideia: talvez ajude ver que $(A,H;A_1,A_2)$ (Onde $H$ é o ortocentro do triângulo $ABC$) é uma divisão harmônica. Além disso$H$ é o centro radical dos 3 círculos desenhados, então $B_1C_1B_2C_2$é cíclico (pela potência de um ponto). É óbvio pela figura que$A'$ deve mentir sobre $BC$. Mas não sei como provar. Você pode por favor me ajudar? Desde já, obrigado!
Se ajudar, o problema vem de um livro romeno sobre divisões harmônicas, mas a solução foi omitida.
Respostas
Resolvemos o problema usando coordenadas trilineares. A altitude$AD$ é o conjunto de pontos cujas coordenadas $x:y:z$ satisfazer $$y\cos B=z\cos C$$ O círculo com diâmetro $BC$ é definido analogamente, os pontos satisfazendo $$yz=x(x\cos A-y\cos B-z\cos C)$$ (Vejo https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=coo.31924059323034&view=1up&seq=344 para a referência.) Definição arbitrária $x=1$ (já que as coordenadas trilineares são razões) e, em seguida, resolver $y,z$ nos dá as coordenadas de $A_1$ e $A_2$: $$A_{1,2}=1: -\cos C\pm\sqrt{\frac{\cos C}{\cos B}(\cos A+\cos B\cos C)}: -\cos B\pm\sqrt{\frac{\cos B}{\cos C}(\cos A+\cos B\cos C)}$$ O sinal de mais dá $A_1$ e o sinal menos dá $A_2$; $B_1,B_2,C_1,C_2$ pode ser obtido por permutação cíclica $A,B,C$ na equação acima.
Agora associe o vetor $(u,v,w)^T$com ambos os pontos nas coordenadas$u:v:w$e a linha $ux+vy+wz=0$. É sabido que a linha que atravessa os pontos$P_1$ e $P_2$ é $(\mathbf P_1×\mathbf P_2)\cdot(x,y,z)^T=0$ e que a interseção de linhas $l_1$ e $l_2$ é $\mathbf l_1×\mathbf l_2$. Com base nisso, a interseção das linhas$B_1C_2$ e $C_1B_2$ é $$A'=(\mathbf B_1×\mathbf C_2)×(\mathbf C_1×\mathbf B_2)$$ $$=0:(\cos A\cos C+\cos B)\sqrt{\cos C(\cos A\cos B+\cos C)}:(\cos A\cos B+\cos C)\sqrt{\cos B(\cos A\cos C+\cos B)}$$ portanto $A'$ encontra-se em $BC$como você suspeitou. A linha$AA'$ então tem vetor normal $\mathbf l_A=\mathbf A'×(1,0,0)^T$, e da mesma forma para $\mathbf l_B=BB'$ e $\mathbf l_C=CC'$ permutando ciclicamente $A,B,C$; o determinante da matriz formada por esses três vetores é $$\begin{vmatrix}\mathbf l_A&\mathbf l_B&\mathbf l_C\end{vmatrix}=0$$ Daí as linhas $AA',BB',CC'$ coincidir, como deveria ser mostrado, no ponto com coordenadas trilineares $$X=\sqrt{1+\frac{\cos B\cos C}{\cos A}}:\sqrt{1+\frac{\cos C\cos A}{\cos B}}:\sqrt{1+\frac{\cos A\cos B}{\cos C}}$$ $$=\frac1{a\sqrt{b^2+c^2-a^2}}:\frac1{b\sqrt{c^2+a^2-b^2}}:\frac1{c\sqrt{a^2+b^2-c^2}}$$ $$=\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$$
Aqui está o código SymPy que usei para derivar todas as expressões acima:
#!/usr/bin/env python3
from sympy import *
cA, cB, cC = symbols('cA cB cC', positive=True) # cos A, cos B, cos C
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
def cycB(p): # ABC -> BCA
q = p.subs({cA: cB, cB: cC, cC: cA}, simultaneous=True)
return Matrix([q[2], q[0], q[1]])
def cycC(p): # ABC -> CAB
q = p.subs({cA: cC, cB: cA, cC: cB}, simultaneous=True)
return Matrix([q[1], q[2], q[0]])
f1 = y*cB - z*cC
f2 = cA - y*cB - z*cC - y*z
sols = solve([f1, f2], [y, z])
A1 = Matrix([1, sols[1][0].expand(), sols[1][1].expand()])
A2 = Matrix([1, sols[0][0].expand(), sols[0][1].expand()])
print("A1 =", A1)
print("A2 =", A2)
B1 = cycB(A1)
B2 = cycB(A2)
C1 = cycC(A1)
C2 = cycC(A2)
Ap = simplify( B1.cross(C2).cross(B2.cross(C1)) ) # A'
Ap *= sqrt(cA*cB*cC)/2
print("A' =", Ap)
lA = Ap.cross(Matrix([1, 0, 0]))
lB = cycB(lA)
lC = cycC(lA)
D = Matrix([lA.T, lB.T, lC.T])
pprint(D)
print("det(D) =", D.det()) # 0
X = D.nullspace()[0] * sqrt(cA*cB + cC) / sqrt(cC)
a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
X = X.subs(cA, (b**2+c**2-a**2)/(2*b*c))
X = X.subs(cB, (c**2+a**2-b**2)/(2*c*a))
X = X.subs(cC, (a**2+b**2-c**2)/(2*a*b))
Delta = sqrt(-(a - b - c)*(a - b + c)*(a + b - c))*sqrt(a + b + c)/sqrt(2) # area of triangle
X = factor(X, deep=True) / Delta
print("X =", X.simplify())