Uma definição mais sucinta de subcampo
Estou lendo o livro Algebra de Saunders MacLane e Garrett Birkhoff, no qual um subcampo é definido como
Um subconjunto de um campo$F$é um subcorpo se e somente se ele é fechado sob as operações unidade multiplicativa, subtração, multiplicação e inverso multiplicativo (de elementos diferentes de zero).
Minhas perguntas:
- A partir desta definição de subanel, ou seja,
Um subanel de um anel$(\mathrm{R},+, *, 0,1)$é um subconjunto$\mathrm{S}$do$\mathrm{R}$que preserva a estrutura do anel, ou seja, um anel$(\mathrm{S},+, *, 0,1)$com$\mathrm{S} \subseteq \mathrm{R}$. Equivalentemente, é tanto um subgrupo de$(\mathrm{R},+, 0)$e um submonóide de$(\mathrm{R}, *, 1)$.
Eu entendo "Equivalentemente, é um subgrupo de$(\mathrm{R},+, 0)$e um submonóide de$(\mathrm{R}, *, 1)$" Como
Um subconjunto$S$é um subanel de$R$se e apenas se$S$é um subgrupo aditivo de$(R,+,0)$e$S \setminus \{0\}$é um submonóide multiplicativo de$(R \setminus \{0\},*,1)$.
- Inspirado na definição acima. Eu criei uma definição mais sucinta de subcampo, ou seja,
Um subconjunto$E$de um campo$(F,+, *, 0,1)$é um subcampo se e somente se$E$é um subgrupo aditivo de$(F,+,0)$e$E \setminus \{0\}$é um subgrupo multiplicativo de$(F \setminus \{0\},*,1)$.
Você poderia, por favor, verificar se meu entendimento está correto? Muito obrigado pela sua ajuda!
Respostas
Uma pequena correção: sua segunda formulação (versão da definição de subcampo) está correta, mas a primeira sobre subanéis não é verdadeira em geral:$(R\setminus\{0\},*,1)$em si não precisa ser um monóide (ou seja, fechado sob multiplicação), como o anel$R$pode ter divisores de zero ou$R\setminus\{0\}$pode estar vazio.
Ditado$(R\setminus\{0\},*,1)$é um monóide (ou seja, um submonóide de$(R,*,1)$) já implica$1\neq 0$e$R$não tem divisores de zero. Neste caso (apenas),$(S,*,1)$é um submonóide de$(R,*,1)$se$(S\setminus\{0\},*,1)$é um submonóide de$(R\setminus\{0\},*,1)$.
Sim ambos estão corretos. Você provavelmente notou o padrão em todas essas definições: um sub-flop de um flop$X$é um subconjunto$Y$do$X$que ainda é um flop com as operações que herdou$X$.