Uma equação diferencial integrável não linear

Question

Estou tentando resolver uma questão de um tutorial de matemática para físicos que nunca foi feito devido à pandemia, então não sei a resposta ou um método adequado para resolvê-la. No entanto, aqui está a questão e minha tentativa de resolvê-la. Comentários, sugestões sobre como abordá-lo e recomendações de leituras adicionais seriam extremamente apreciados.

Seja a equação do movimento:$$m\ddot{x}(t) + V'(x(t))= 0\tag1$$e,$$E = \frac{m}{2}\left(\dot{x}(t)\right)^2 + V(x(t))\tag2$$Onde$V(x)$é um potencial derivável conhecido e$E$é independente de$t$.

1. Pela integração da equação dando$\dot{x}$, Expresse a solução com a condição inicial$x(t_0)=x_0$na forma de t(x).

da equação$(1)$ $$\dot{x}^2 = \frac{E-V}{m/2} \implies \pm\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx = t+Cste$$
Tirando a raiz positiva e da condição inicial sabemos$Cste=-t_0$

$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx+t_0$$2. Seja um potencial crescente no infinito:$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$Onde$C>0$e$a>0$. Consideramos uma partícula de velocidade inicial$v_0>0$. Dê o comportamento assintótico de$x(t)$quando$E>0$e$E=0$.
Eu tentei substituir a expressão de$V(x)$no infinito na integral:$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E+\frac{C}{x^\left(2a\right)}}}dx+t_0$$Eu estava tentando convertê-lo na forma de$\arcsin(x)+c=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$por substituição, mas ficou claro para mim que não é possível, talvez eu não tenha permissão para substituir diretamente a expressão de$V(x)$no infinito.
Eu também acho que há uma maneira de contornar essa questão sem ter que calcular a integral, mas não consigo encontrar uma. Espero que alguém possa me ajudar.

Answer 1

Acredito que você respondeu a primeira pergunta corretamente, no entanto, o problema com a segunda pergunta surge do fato de que você está tentando obter a antiderivada que, na minha opinião, é muito difícil. Aqui está minha abordagem:
vamos assumir que x está próximo do infinito, então temos,$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$
Vamos substituir isso na equação$(1)$e integrá-lo:$$\ddot{x}(t)=\frac{2aC}{m}x^\left(-2a-1\right)\\\implies\frac{x^\left(2a+3\right)}{2a(2a+2)(2a+3)}=\frac{C}{m}(t^2+C_1)$$então nós temos:$$x(t)=\frac{2aC}{m}(t^2+C_1)(2a+2)(2a+3)$$também,$$\dot{x}(t)=\frac{4aC(2a+2)(2a+3)}{m}t $$deixar$D=a(2a+2)(2a+3)$,$$\dot{x}(t)=\frac{4DaC}{m}t $$substituindo na equação$(2)$já que queremos apresentar$E$na solução para estudar o comportamento assintótico:
$$E = \frac{(4DaC)^2}{m^2}t^2 - \frac{C}{x^\left(2a\right)}\\ \implies x = \frac{1}{\sqrt[2a]{\frac{16C(Da)^2}{m^2}t^2-\frac{E}{C}}}$$
Aqui está um gráfico de$y = \frac{1}{\sqrt[2a]{x^2-Z}}$(Onde$a$e$Z$são constantes) para lhe dar uma ideia melhor. Brinque com os controles deslizantes para ver o comportamento da função.
Podemos ver no gráfico que se$E=0$uma partícula na posição$x_1$começa a se aproximar$x=0$, que podemos considerar como a origem do potencial, leva um tempo infinito para chegar lá (para fins mais práticos, podemos considerá-lo parado). E se$E>0$a mesma coisa acontece, mas o intervalo aumenta, significando que a partícula é assintoticamente parada antes de atingir a origem.