Uma suposição pode ser descartada sem fazer parte da árvore?
Dada a fórmula a seguir, use a dedução natural para provar que ela é válida.

A resposta dada pelo professor foi a seguinte:

Gostaria de entender como podemos descartar a suposição de phi no colchete 3 sem realmente derivá-lo da própria árvore como psi no colchete 2?
Respostas
Uma suposição pode ser descartada sem fazer parte da árvore?
Sim.
Ver, por exemplo, Dirk van Dalen (1997) "Logic and Structure", p. 34:
Com relação ao cancelamento de hipóteses, notamos que não se cancela necessariamente todas as ocorrências de uma proposição$\psi$. Isso é claramente justificado, pois se sente que adicionar hipóteses não torna uma proposição subivível (informações irrelevantes podem sempre ser adicionadas). É uma questão de prudência, porém, cancelar o máximo possível. Por que carregar mais hipóteses do que o necessário?
Além disso, pode-se aplicar$(\to I)$ se não houver hipóteses disponíveis para cancelamento, por exemplo $\dfrac{\phi}{\psi \to \phi}(\to I)$ é uma derivação correta, usando apenas $(\to I)$.
Resumindo: [...] eliminar algumas (ou todas) as ocorrências, se houver [...].
A justificativa semântica para isso é a monotonicidade (também conhecida como enfraquecimento): nós temos isso
E se $\Gamma \vDash \phi$, então $\Gamma, \psi \vDash \phi$.
Pelo teorema da dedução, também segue que
E se $\Gamma \vDash \phi$, então $\Gamma \vDash \psi \to \phi$.
Se uma conclusão pode ser estabelecida a partir de um determinado conjunto de premissas, ela não "se perde" com a adição de conhecimento adicional, portanto, podemos sempre adicionar mais premissas ou antecedentes que não estão realmente sendo necessários. Essa ideia semântica se transfere para derivações.
O mesmo se aplica a todas as outras regras que permitem descartar premissas, ou seja, $(\lor E)$, $(\neg I)$ e $(RAA)$.