Utilidade da Geometria Diferencial
Recentemente me deparei com esses livros:
- Geometria Diferencial e Grupos de Lie: Uma Perspectiva Computacional
- Geometria Diferencial e Grupos de Lie: Um Segundo Curso
O assunto deles realmente me intriga, pois gosto muito de topologia/geometria/análise, mas não planejei me dedicar a eles, pois também quero trabalhar em uma área com aplicação muito concreta. No entanto, estou cético. A certa altura, pensei que a análise de dados topológicos (TDA) era o casamento perfeito dos meus interesses, mas encontrei muito poucas evidências desse campo sendo realmente usado na ciência da computação, muito menos em configurações industriais ou de outra forma mais 'práticas'. Parece que o TDA faz com que os matemáticos se sintam mais relevantes para o mundo da ciência de dados, mas não estou convencido de que isso os torne assim (sinta-se à vontade para me contradizer se você acha que estou errado neste ponto, mas observe que eu quero um caso de uso, não um argumento abstrato sobre sua relevância). Tenho histórias semelhantes sobre teoria da codificação, certos aspectos da teoria dos conjuntos, etc. Podem ter relevância teórica, mas existe alguma situação em que, no processo de desenvolvimento de software, seja necessário consultar esses campos? Eu não sei de nenhum.
Então agora minha pergunta: existe algum campo prático da ciência da computação que faça uso avançado da geometria diferencial? Imagens médicas, outras imagens, computação gráfica, realidade virtual e alguns outros campos vêm à mente como áreas de aplicação em potencial. Em minha experiência (reconhecidamente limitada), no entanto, essas áreas parecem usar geometria 3D básica, álgebra linear numérica e, às vezes, análise numérica de PDEs. Todos esses são tópicos muito bons, mas não exigem nada tão abstrato quanto a geometria diferencial.
Desde já, obrigado.
Respostas
Vejo principalmente a geometria diferencial aplicada à ciência da computação nos seguintes subcampos aplicados:
- Computação Gráfica / Processamento de Geometria
- Aprendizado de Máquina / Processamento de Sinal
Para processamento de Computação Gráfica / Geometria, recomendamos procurar:
- Curso de geometria diferencial discreta por Keenan Crane
- Geometria diferencial discreta para lista de reprodução CS
- Compilação de papéis de geometria diferencial discreta
Para Machine Learning / Processamento de Sinal, recomendo procurar:
- Aprendizado múltiplo
- Geometria da Informação
- Processamento de sinal não linear
- Aprendizagem Profunda Geométrica
Verifique também esta resposta no intercâmbio de matemática, e esta conferência Geometria Diferencial encontra Deep Learning
Aliás, a Geometria Diferencial Funcional é um ótimo livro.
Se você achou interessante Estrutura e Interpretação de Programas de Computador , você pode gostar de Geometria Diferencial Funcional (É dos mesmos autores) .
A geometria diferencial é enganosamente simples. É surpreendentemente fácil obter a resposta certa com manipulação de símbolos pouco clara e informal. Para resolver esse problema, usamos programas de computador para comunicar uma compreensão precisa dos cálculos em geometria diferencial. Expressar os métodos de geometria diferencial em uma linguagem de computador os força a serem inequívocos e computacionalmente eficazes. A tarefa de formular um método como um programa executável por computador e depurar esse programa é um exercício poderoso no processo de aprendizagem. Além disso, uma vez formalizada processualmente, uma ideia matemática torna-se uma ferramenta que pode ser usada diretamente para computar resultados.
Retirado de Sussman, Wisdom: Functional Differential Geometry
Hoje em dia, todo campo que tem o nome "diferencial" é de alguma forma aplicado em redes neurais. Para geometria diferencial, por exemplo, você pode pensar em renderização diferencial em computação gráfica.
No momento estou trabalhando com o artigo "A Differential Theory of Radiative Transfer" de Zhang et al.