Valor máximo de $4|\cos x|-3|\sin x|$ [duplicado]

Question

Como vou encontrar o máximo de $4|\cos x|-3|\sin x|$

O valor absoluto me confunde, O valor máximo seria 5 se não estivesse lá.

Answer 1

$a=|sin x|,b=|\cos x|$ Onde $a,b\in[0,1]$ temos que maximizar $$4a-3b=4a-3\sqrt{1-a^2}=f(a)$$ mas $$f'(a)=4+\frac{3a}{\sqrt{1-a^2}}>0$$ conseqüentemente $$f(a)\le f(1)=4$$

Answer 2

O máximo da sua expressão não pode exceder $4$, que é obtido quando $4|\cos x|$ é maximizado e $3|\sin x|$ é minimizado independentemente.

Neste caso, em $x=n\pi~(n\in\Bbb Z)$, a maximização do primeiro termo e a minimização do segundo termo acontecem simultaneamente. Portanto, o valor máximo é de fato$4$.

Answer 3

$|\cos (x)| = 1$(valor máximo) para todos $x = n\pi, n\in \Bbb Z$
Assim, $4|\cos (x)| = 4$ é o valor máximo possível do primeiro termo.

$3|\sin x| \ge 0$. Então, precisamos do termo$3|\sin x|$para ter o valor mínimo possível, pois está sendo subtraído do primeiro termo e esse valor é zero. Isso ocorre novamente em$x = n\pi, n\in \Bbb Z$.

Assim, $4|\cos x| - 3|\sin x|$atinge um máximo. valor de$4-0 = 4$ em $x = n\pi, n\in \Bbb Z$.