variedades de baixa dimensão, colando o limite de uma bola
Lembre-se de que uma maneira de desenhar 2-manifolds fechados é pegar um disco $D^2$, faça uma decomposição celular de $\partial D^2$, emparelhe os vértices nesta decomposição celular de modo que o emparelhamento preserve as bordas e, em seguida, pegue $D$ junto com este quociente da fronteira.
Podemos fazer isso em outras dimensões também, por exemplo, na dimensão 3, cada variedade 3 fechada pode ser obtida por um procedimento semelhante onde tomamos $B^3$, faça uma decomposição celular de $\partial B^3$, emparelhe os vértices desta decomposição celular de modo que o emparelhamento preserve arestas e faces e, em seguida, observe o quociente de $B^3$ por este emparelhamento.
Threlfall e Seifert fizeram isso para a esfera de homologia de Poincaré (veja por exemplo aqui - que também contém uma descrição diferente devido a Kreines). Na verdade, eles levam a celulação de$\partial B^3$para ser o dodecaedro. Existe uma lista completa (presumivelmente bastante curta) de todas as 3-variedades obtidas de tal forma onde a celulação é um sólido platônico?$T^3$, $\mathbb{R}P^3$, e o espaço Seifert-Weber são outros exemplos que vêm à mente. Eu acho que a esfera de homologia de Poincaré é talvez a única esfera de homologia nessa lista. De maneira mais geral, gostaria de examinar uma lista das três variedades que ocorrem dessa forma usando celulações simples.
Isso também pode ser feito de maneira semelhante na dimensão 4 para produzir todos os manifolds 4 fechados lisos. Existem algumas fotos / exemplos legais disso sendo realizado em algum lugar? Eu adoraria ver essas fotos de$S^2 \times S^2, T^4, \mathbb{C}P^2,...$
Respostas
Essas três variedades fechadas e orientáveis obtidas pela colagem de faces dos sólidos platônicos foram classificadas por Everitt .
Isso é para poliedros regulares com ângulos diédricos iguais, e a colagem é feita geometricamente. Porém, também é possível fazer a colagem topologicamente, e para esse problema, só tenho uma resposta parcial. Existem 3 variedades 3 orientáveis fechadas obtidas colando as faces do tetraedro. Eles são$S^3$, $L(4,1)$, e $L(5,2)$. Colagens explícitas podem ser vistas na figura 2 deste artigo de Jaco e Rubinstein .
Existem 17 variedades 3 orientáveis fechadas obtidas pela colagem de faces do octaedro, 13 das quais são primos. Eles estão listados na Proposição 4.2 deste artigo por Heard, Pervova e Petronio .
Presumivelmente, as variedades 3 orientáveis fechadas obtidas do cubo foram enumeradas, mas não conheço nenhuma referência. Eles incluem$\mathbb{R}P^3$, o toro 3 e pelo menos 2 das outras variedades de 3 euclidianas orientáveis fechadas. Imagino que haja muitas variedades de 3 obtidas do dodecaedro e do icosaedro, mas duvido que alguém tenha enumerado todas elas.
Quanto a 4-variedades, deixarei isso para alguém responder, exceto para observar que não há 4-variedades obtidas de um único pentachoron (4-simplex), uma vez que tem 5 tetraedros em seu limite e isso causa uma paridade emitir.