Velocidade de bolas de tamanhos diferentes rolando pelo mesmo trilho [duplicado]

Question

Durante o laboratório de mecânica, conduzimos um experimento no qual rolamos duas bolas (vidro e aço) por um trilho elíptico elevado e medimos o ponto de impacto. As linhas do trilho eram de 0,76 cm. As bolas tinham um raio diferente, aço - 0,825cm e vidro - 0,75cm. Neste experimento, a bola de aço atingiu um alcance menor de forma consistente .$\\$Tentei a seguinte explicação, presumindo que nenhum trabalho seja feito por fricção (já que a bola está rolando principalmente): $$mgh=\frac12mv^2+\frac12Iw^2$$ E usando $v=wr$ quando $r$ é o raio onde a bola está tocando o trilho, e $I=\frac25mR^2$: $$gh=\frac{v^2}{r^2}(\frac12r^2+\frac15R^2)$$ então $$v=\frac{gh}{0.5+0.2\frac{R^2}{r^2}}$$ Mas o experimento deu um resultado oposto, para menores $r$obtemos velocidade final menor. Meus cálculos estão errados? Ou há outro motivo para as bolas terem velocidades diferentes ao sair do trilho? (Meu instrutor me disse que a chave dois, a resposta, é a largura entre os trilhos, então não estou interessado em dizer que obtive resultados opostos devido ao atrito ou deslizamento).

Answer 1

Em sua última fórmula deve haver um $v^2$no lado esquerdo, mas de outra forma está ok. No entanto, precisamos considerar o que r é: A distância (perpendicular) entre o eixo de rotação e cada trilho. Se a distância entre os trilhos for$d$, então $$ R^2 = \left(\frac d 2\right)^2 + r^2. $$ Assim, obtemos o denominador $$ \frac12 + \frac15 \frac{R^2}{R^2 - \left(d/2\right)^2} = \frac12 + \frac15 \frac{1}{1 - \left(d/{2R}\right)^2}. $$ Desde a $d$ é o mesmo para ambas as bolas, maior $R$dá um denominador menor, portanto, um intervalo maior. Isso também faz sentido: maior$R$significa que há menos energia colocada na rotação, pois a bola não cai tão longe entre os trilhos e gira no lugar. Portanto, estou me perguntando sobre os valores exatos de seu experimento.