Verificação de prova e compreensão necessárias

Nov 28 2020

Use o resultado do exercício 1 para provar se A é infinito e B finito e B é um subconjunto finito de A, então A \ B é infinito

Exercício 1 Sejam A, B conjuntos finitos disjuntos. e A≈m. e B≈n, então. A ∪ B ≈ m + n. Conclua que a união de dois conjuntos finitos é finita.

Nota : o problema vem de Um livro de teoria dos conjuntos de Pinter

Tentativa de prova (Caveat Lector: deixe o leitor tomar cuidado ... Meu conhecimento do conjunto infinito é instável, posso usar indução e mapeamento)

Provei o exercício 1. (Reescrita completa)

Escreva A = (A \ B)$\cup$ B (1)

Usando $A \cup B $ do exercício 1, obtemos A \ B = ($A\cup B)\cap B^{c}$ (2)

Agora suponha que A tenha um subconjunto B enumerável e A é finito; isto é, A ≈ n, B ⊆ A e B ≈ ω. Soluço$\subset$(A \ B)$\cup$ B.

A \ B não pode ser finito, pois A é infinito Se a$\in$A \ B depois a$\in B^{c}$ então $B^c$ é infinito, o que é uma contradição, pois B é finito

Portanto, A / B é infinito

Socorro

Respostas

PaulSinclair Nov 29 2020 at 19:32

Algumas coisas:

$A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$. portanto$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ Não há razão para união em todos os elementos de $B$ antes de removê-los cruzando com $B^\complement$.
Você deduz

$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$

então $A\setminus B$ e $B$ são disjuntos.

Qualquer argumento pelo qual você pudesse obter "$A\setminus B$ e $B$ são separados "de $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ funcionaria muito mais facilmente com a sua declaração (2): $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$. Ou mais facilmente ainda de (o que eu suponho ser a definição que Pinter dá para$A\setminus B$): $A\setminus B = A\cap B^\complement$. Você estava claramente indo na direção errada e evidentemente apenas decidiu fingir, esperando que seu leitor estivesse igualmente perdido e presumisse que você realmente havia demonstrado algo.

que $A\setminus B$ e $B$são disjuntos é algo tão óbvio que é questionável se ele precisava ser demonstrado. Pela definição do construtor de conjuntos que dei, é provável observando que$x \in A\setminus B \implies x \notin B$, portanto, não há $x$ que está em ambos $A\setminus B$ e $B$. Se você insiste em uma prova de "conjunto algébrico", então$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$

Você não está acompanhando suas próprias suposições:

Agora suponha que $A$ tem um subconjunto enumerável $B$ e $A$é finito ; isso é,$A \approx n, B \subseteq A$e $B \approx \omega$. então$B\subset (A\setminus B)\cup B$.

$A\setminus B$não pode ser finito porque A é infinito ...

Além disso, você não faz uso de nenhum dos itens acima no restante de seu argumento, então por que os mencionou? A única coisa que você usou foi que$A$ é infinito, que é uma hipótese do teorema.

E se $a\in A\setminus B$ então $a\in B^\complement$ então $B^\complement$ é infinito, o que é uma contradição, pois $B$ é finito.

Eu suponho que você está mostrando isso $A\setminus B \subseteq B^\complement$, o que de fato implicaria $B^\complement$é infinito (assumindo que já foi provado que uma classe com uma subclasse infinita é ela mesma infinita). Mas$B^\complement$ ser infinito não contradiz de forma alguma $B$sendo finito. Na verdade, o complemento de cada conjunto finito é infinito. Os complementos de conjuntos não são conjuntos segundo a teoria dos conjuntos de Pinter. São classes adequadas e as classes adequadas são sempre infinitas.

Se você quiser usar o exercício 1 para provar isso, a prova por contradição é necessária. Mas o que você está tentando provar é "$A\setminus B$ é infinito ", portanto, a suposição que você precisa fazer é o oposto:"$A\setminus B$ é finito ". Quando você chega a uma contradição, significa que a suposição que o levou a ela é falsa, e se"$A\setminus B$ é finito "é falso, então seu oposto"$A\setminus B$ é infinito "será verdade.