Verifique a diferenciabilidade em $x=0$
Portanto, a declaração do problema em que estou trabalhando é
Encontre a integral indefinida de $\exp(-|x|)$ em relação a $x$.
Eu forneci uma resposta abaixo, mas tenho algumas perguntas no final. Acho que é mais fácil se eu mostrar meu trabalho primeiro (alternativamente, vá para o último parágrafo para pular diretamente para a minha pergunta).
Minha resposta \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}
Eu adicionei $2$ para o lado direito do gráfico desde em $x=0$, \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}
Eu adicionei um gráfico para visualizar a descontinuidade que precisa ser removida. A rigor, não terminei aqui porque ainda preciso mostrar que o anti-derivado é diferenciável na origem. Portanto, tentei usar a definição de uma derivada, ou seja,
\ begin {equation *} f '(x_0) = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \ end {equation *}
mas não tenho certeza se isso está correto:
Limite da mão esquerda
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}
Limite do lado direito
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}
a partir disso, parece adicionar $2$realmente não fez diferença nesta prova de diferenciabilidade? Eu também não me sinto bem por usar a Regra de L'hopital em uma prova de limite, mas eu realmente não fiz nenhuma outra maneira de continuar, então foi o melhor que eu pude pensar nessa situação.

Respostas
Adicionando $2$ajuda muito no cálculo dos limites. Isso afeta muito o limite da mão esquerda. Olhe para o numerador$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ Aqui a esquerda $F$ usa $C_1$ e o certo $F$ usa $C_2$, então este numerador não se aproxima $0$ a menos que você adicione o $2$.
Quanto a como evitar l'Hopital, isso depende de como você define $\exp$. De qualquer forma, você pode notar que o limite do lado esquerdo é na verdade igual à derivada do lado esquerdo de$e^x$ em $x=0$(basta inserir isso na definição da derivada e ver se você obtém a mesma coisa). Da mesma forma, o limite do lado direito é igual à derivada do lado direito de$-e^{-x}$ em $x=0$. Portanto, se você já sabe quais são esses dois derivados, está feito.
Se você não adicionar isso $2$, sua função nem mesmo será contínua em $0$e, portanto, não será diferenciável nesse ponto. Se você não colocar isso$0$, a derivada esquerda em $0$ será$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$
À esquerda, a antiderivada é
$$e^{x}+C_-$$ e à direita
$$-e^{-x}+C_+.$$
A continuidade deve ser garantida no ponto de encontro (por ser uma antiderivada), e $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ É necessário.
Agora para positivo $h$
$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ e $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$de forma que se o limite no RHS existe, existe a derivada. E certamente existe, pois é a derivada certa do exponencial negativo.
$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ é um mapa contínuo, pois é uma composição de mapa contínuo.
Portanto, você não precisa verificar se a derivada de sua integral indefinida existe. Ele existe pelo teorema fundamental do cálculo.
A igualdade
$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ que você escreveu não faz sentido.
A integral indefinida é um, não é diferente à esquerda e à direita de zero.
O que você pode escrever é
$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$
E então separar os casos $x<0$ e $x \ge 0$.