Visualizando o esquema $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$
Deixei $k$ ser um campo algébricamente fechado (para mim, estou usando $k=\mathbb C$) Eu sei disso$\mathrm{Spec} \, k[x]/(x^2)$ consiste simplesmente no ideal principal $(x)$. Na verdade, qualquer ideal$\mathfrak p$ do $k[x]/(x^2)$ é um ideal de $k[x]$ de tal modo que $(x^2) \subset \mathfrak p$.
Se agora considerarmos $\mathrm{Spec} \, k[x,y]/(y^2)$, agora os principais ideais de $k[x,y]$ está $(0)$, $(x-a,y-b)$ para $a,b \in k$ e polinômios irredutíveis $f(x,y)$ gerando $(f(x,y))$.
Claramente $(y^2)\not\subset (0)$. Quanto aos polinômios irredutíveis, temos$(y^2) \subset k[x,y]f(x,y)$, então eu acho que é certo dizer que os ideais em bijeção com estes são da forma $(a+f(x)y+g(x))$ Onde $a,b \in k$ e $f,g$irredutível. eu acho$(x-a,y-b)$ também seriam ideais primos do anel quociente, uma vez que o quociente por eles fornece um domínio integral.
Agora estou interessado em entender a generalização $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$. Em particular:
- Podemos classificar todos os elementos do espectro deste anel, para $n \geq 1$?
- Podemos visualizar esse esquema e ele foi estudado em algum contexto na literatura?
Respostas
Deixei $R=\frac {k[y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)} $
Então $\operatorname {Spec} \frac {k[x,y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)}=\operatorname{Spec} R[x]= \mathbb A^1_R$, a linha afim sobre o anel $R$. Observe isso desde$m= (\bar y_1,\bar y_2, \dots , \bar y_n )$, é um ideal máximo nilpotente de $R$, $\operatorname {Spec} R= \{m \}$, ou seja, é um ponto gordo no sentido de Mumford.
E se $p\in \mathbb A^1_R$, considere sua imagem em $\operatorname {Spec} R$ sob o morfismo da estrutura $\mathbb A^1_R\xrightarrow{\pi} \operatorname{Spec} R$. portanto$\pi(p)=m$.
Uma vez que temos $R/m \cong k $, vemos uma correspondência um-um $$\operatorname{Spec} R[x] \leftrightarrow \operatorname {Spec }k[x]$$
Assim como $\textbf{sets}$ Você tem $\mathbb A^1_R =\mathbb A^1_k $
Mas é claro que as polias da estrutura são diferentes. $\mathbb A^1_R$ tem nilpotentes no feixe de estrutura.