Você pode tirar infinitas raízes quadradas de Pauli-X?
Estou tentando encontrar o custo de uma porta de Toffoli de n bits com base no circuito recorrente apresentado no Trabalho de Barenco no Lema 7.5 ( portas elementares para computação quântica )
A construção requer que tomemos iterativamente a raiz quadrada de Pauli X. Eu queria saber se há alguma prova de que sempre podemos tirar a raiz quadrada de Pauli X tantas vezes quanto possível?
Respostas
As matrizes unitárias podem ser elevadas a qualquer potência, incluindo potências fracionárias, para que qualquer raiz que você queira, possa encontrar. Você encontra a raiz ao autecompor a matriz, modificando os autovalores (elevando-os à potência desejada) e, em seguida, recompondo a matriz.
No caso da matriz Pauli X, os vetores próprios são $|+\rangle\langle +|$ e $|-\rangle\langle -|$ então você pode encontrar raízes como esta:
$$X^s = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 &1\end{bmatrix} + \frac{e^{i \pi s}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$$
Feito isso, o verdadeiro desafio é perceber $X^s$portões usando o conjunto de portões disponível em seu computador. Por exemplo, se você estiver usando o conjunto porta Clifford + T, em seguida, você poderia aproximar a rotação usando uma série de portões H e T .
Observe que, para executar um NOT de controle múltiplo, existem construções livres de ancilla mais eficientes do que aquela que você vinculou: https://algassert.com/circuits/2015/06/22/Using-Quantum-Gates-instead-of-Ancilla-Bits.html