3 = 0 olduğunun bu "kanıtındaki" hata nerede? [çiftleme]
Bu videoyu (alttaki bağlantı), sözde bir "kanıtla" gördüm$3=0$. Aşağıdaki gibidir:
İzin Vermek $x$ çözümü olmak $$x^2+x+1=0 \tag1$$
Dan beri $x\neq0$, iki tarafı da bölebiliriz $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
Nereden $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
Vekil $x+1=-x^2$ içine $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ Vekil $x=1$ içine $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
Videoda verilen açıklama
İkame $x+1=-x^2$ içine $(2)$ gereksiz çözümü yaratır $x=1$ bu orijinal denkleme bir çözüm değil $(1)$, $x^2+x+1=0$.
Denklemler$(1)$ ve $(2)$ çözümleri var $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, ancak ikameden sonra denklem $(3)$ bu iki çözüme sahiptir ve $1$.
Temel olarak, sorunun ikame ettiğini söylüyor $x+1=-x^2$ama sorunun gerçekten bu olup olmadığından emin değilim. Değişiklikten önceki her şey doğruysa, oyuncu değişikliği nasıl bir soruna neden olabilir?
Yorumları okuduktan sonra birçoğunun asıl sorunun şu olduğunu söylediğini fark ettim: $(4)$, Çünkü $1=x^3$ şu anlama da gelebilir $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$. Bu çözümleri dikkate almamak, "kanıt" sorunu. Ayrıca sonuca varmadan önce bu çözümleri kontrol etmeli ve hangisinin doğru olduğunu "seçmelisiniz".
Öyleyse sorum şu, yukarıdaki "kanıt" ın sorunu ne? $3=0$?
Video: "Kanıtla" 3 = 0. Hatayı Tespit Edebilir misiniz? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM.
Yanıtlar
Problem şu $x^3=1$ ima etmiyor $x=1$. Denklem$x^3-1=0$ üç olası köke ve köke sahiptir $x=1$ ek olarak oluşturulmuş bir köktür.
Bir denklemin bir üyesini kendi içinde ikame etmek, yabancı çözümler getirebilir.
Örneğin $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
İlk denklemi de tutmanız şartıyla bunu yapabilirsiniz.
Güvenli işlemler şunlardır:
her iki üyeye bir terim eklemek;
her iki üyeyi de sıfır olmayan bir faktörle çarpmak;
her iki üyeye de tersinir bir dönüşüm uygulamak.
Diğer her şey (örneğin, her iki üyenin karesini almak) dikkatlice yapılmalıdır.
Değiştirme, geri çevrilemez bir adım olduğu için yabancı bir köke neden olabilir. Yani, açıktır ki, eğer$x^2 + x + 1 = 0$o zaman bizde $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$ve ikame ile, $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ Ancak bunun tersi doğru değildir: eğer $-x^2 + 1/x = 0$, o zaman mutlaka şunu tutmaz $-x^2 = x+1$onu takip edecek $x^2 + x + 1 = 0$.
Aslında, çözümün bu şekilde olduğunu görüyoruz $x = 1$ sığar: tatmin eder $-x^2 + 1/x = 0$, Ama değil $-x^2 = x+1$.
Başka bir bakış açısı: ikame, aşağıdaki çarpma ile özetlenebilir: $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ Çarpma $x^2 + x + 1$ başka bir faktör polinomu başka bir kök verdi.
İzin Vermek $x\ne0$. Sonra
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$doğru. Fakat
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$değil* ! Mantıksal sonuç yalnızca soldan sağa doğrudur.
Grafikte gösterildiği gibi, eğrileri $-x^2$ ve $-\dfrac1x$ kesişir ama onunla değil $x+1$. Yukarıdaki iki RHS'yi eşitleyerek, bilgileri kaybedersiniz ve çözüm olmayanlar ortaya çıkarırsınız.
* Eğer düşünürsen, söylemek gibi olur
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ her neyse $c$.