3 aynı kırmızı top ve 3 aynı beyaz topun 3 farklı kutu arasında dağıtılabileceği yolların sayısı, hiçbir kutu boş değil mi?
Başlıkta da belirtildiği gibi, 3 farklı kutu arasında 3 aynı kırmızı top ve 3 aynı beyaz topun hiçbir kutu boş olmayacak şekilde dağıtılabileceği yolların sayısını hesaplamamız gerekiyor .
Birkaç benzer soru soruldu, ancak hiçbiri bu soruyu tam olarak yanıtlamadı (benim bildiğim gibi).
Buna birkaç dava açarak yaklaşmaya çalıştım, bu aslında işe yaradı. Ancak, örneğin n bir türden özdeş nesneler ve p farklı kutularda başka bir türden özdeş nesneler için genel bir yaklaşım yaratamadım.
Yanıtlar
Başlangıçta biz var $6$beyaz toplar. Sahip olabiliriz$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$veya $\{2,2,2\}$ kutulardaki toplar, ile $3$, $6$, $1$üç durumda farklı sıralamalar. Şimdi altı toptan üçünü kırmızıya boyadık. İçinde$\{4,1,1\}$ durumda üçünü boyayabiliriz $4$ kırmızı ($1$ yol), ikisi $4$ kırmızı ($2$ yollar) veya şunlardan biri $4$ kırmızı ($1$yol); yapar$4$yollar. İçinde$\{3,2,1\}$ üçünü de boyayabiliriz $3$ kırmızı ($1$ yol), üç kırmızıdan ikisi ($2$ yollar), biri $3$ kırmızı ($2$ yollar) veya hiçbiri $3$ kırmızı ($1$yol); yapar$6$yollar. İçinde$\{2,2,2\}$ yapabiliriz durumda $2$ ve $1$ farklı kutularda kırmızı toplar ($6$ yollar) veya her kutuda bir kırmızı top ($1$yol); yapar$7$ yollar.
Hepsinde var $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ farklı kabul edilebilir dağılımlar.
Durum A. İlk kutuda 4 top.
- Kutuda 3 kırmızı, 1 beyaz veya 3 beyaz ve 1 kırmızı top bulabiliriz. Bu, ikinci ve üçüncü kutu için tam olarak bir aranjman anlamına gelir. Ara toplam: 2 permütasyon
- Kutuda 2 kırmızı ve 2 beyaz top bulabiliriz. Bu, ikinci ve üçüncü kutu için olası iki sınır anlamına gelir. Ara toplam : 2 permütasyon
Toplam: 4 permütasyon
Durum B. İlk kutuda 3 top.
- 3 kırmızı veya 3 beyaz. Bu, diğer kutularda 2 arranjament anlamına gelir. Ara toplam: 4 permütasyon
- 2 kırmızı + 1 beyaz veya 1 kırmızı + 2 beyaz. Bu, diğer kutularda olası 4 engel anlamına gelir. Ara toplam : 8 permütasyon
Toplam: 12 permütasyon
Durum C. İlk kutuda 2 top.
- 2 kırmızı veya 2 beyaz. Bu, diğer kutularda 6 olası sorun anlamına gelir. Ara toplam: 12 permütasyon
- 1 kırmızı ve 1 beyaz. Bu, diğer kutularda 7 olası sorun anlamına gelir. Ara toplam : 7 permütasyon
Toplam: 19 permütasyon
Durum D. İlk kutuda 1 top. Tek yol: 1 kırmızı veya 1 beyaz. Bu, diğer kutularda 10 olası sorun anlamına gelir.
Toplam: 20 permütasyon
Sonuç: 4 + 12 + 19 + 20 = 55olası permütasyonlar.