3 sayı çözümünün tümünü bulun $x[(x-2)^2+1]=6$

$$x(x^2-4x+5)=6$$

$$x^3-4x^2+5x-6=0$$

$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$

Sadece ayrımcılığını doğrulamalısın $x^2-x+2$ negatiftir ve başka gerçek kök olmadığı sonucuna varır.

Diğer kökleri bulmakla ilgileniyorsanız, kalan kökleri bulmak için ikinci dereceden formülü kullanmak isteyebilirsiniz.

Eğitimli deneme yanılma yoluyla:

Alıştırmanın kolay bir çözümü olduğunu varsayarsanız, muhtemelen bir tam sayıdır. $6$ faktörler olarak $2\cdot3$ ve ikinci faktör bir tam kare artı bir olduğu için bu, $3$. Sonra$x=3$ bir tombaladır!

Şimdi bilinmeyeni değiştiriyoruz $x:=z+3$, elde ederiz

$$z^3+5z^2+8z=0$$ veya $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ çözümü kolay olan.

Tamsayı çözümler arıyor, denklem $x[(x-2)^2+1]=6$ eşdeğerdir $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ İlk sistemdeki ikinci denklem şunu ima eder: $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$. Ne yazık ki, tek kareler mos.$3$ vardır $0$ ve $1$yani bu ilk sistemin çözümü yok.

İkinci sistemdeki ikinci denklem şu anlama gelir: $(x-2)^2=1$yani $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $. Bir tek$x=3$ ilk denklem ile uyumludur.

Bu nedenle tek bir tamsayı çözümü vardır. Diğer çözümler için, lhs'yi bölen kübik denklemi elde etmek için genişletebiliriz.$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$

İkinci dereceden denklem $x^2-x+2=0$ karmaşık eşlenik köklere sahiptir: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$