Analitik devamın en eski örneklerinden bazıları nelerdir?

Question

Riemann'ın bunu nasıl bildiğini merak ediyorum $\zeta(z)$daha büyük bir alana genişletilebilir. Özellikle, karmaşık değerli bir işlevin alanını açıkça genişleten ilk kişi kimdi ve işlev neydi?

Answer 1

(Genişletilmiş 26.01.2021

Öncelikle, ana dili İngilizce olmayanlar için, 'a' maddesinin 'karmaşık değerli bir işlev' ifadesinde kullanılmasının, sorunun yalnızca Riemann veya başka bir zeta işlevine atıfta bulunmadığı anlamına geldiğini belirtmeme izin verin. Etki alanı gerçeklerin bir kümesi olan herhangi bir işlevi içerir , bu yüzden soruyu "Karmaşık gerçeklerin bazı kümelerinden bazı sürekli etki alanlarına önemli bir işlevin etki alanının uzantısını yayınlayan ilk kişi kimdir?" Şeklinde yorumluyorum. ve bu işlev neydi? " Bana göre, analitik devamlılık teriminin tam anlamı ve benzersiz olup olmadığı farklı bir sorudur.

İlk cümle ve yorumların birçoğu Riemann zeta fonksiyonuna odaklanmıştır. Riemann tek başına kalmadı ve ilgi alanları, bugün RH'ye neredeyse takıntılı bir şekilde odaklanmanın ima edebileceğinden çok daha genişti. İlgi alanları hemen hemen tüm karmaşık analizleri kapsıyordu, bu nedenle gerçek işlevlerin karmaşık işlevlere uzantılarını düşünmesi doğaldı.

Euler'den önce hiçbir matematikçinin bir sabah uyandığına ve "Gerçek formüllerimi o çılgın -1'in karekökünü içerecek şekilde değiştirirsem ne olur?" Roger Cotes, astronomi ve gök mekaniğine olan ilgisiyle bunu anlamlı bir şekilde yapmaya hazırdı; meslektaşı Newton'un trigonometri fonksiyonlarının seri temsilleri, tersleri, kalkülüs ve Newton mekaniği üzerine çalışmalarına aşinalık; 1600'lü yılların başında Napier tarafından Dünya ve gökyüzünü araştırırken karşılaşılan çok sayıda hesaplamayla uğraşan logaritmik tabloların kullanılması; ve enterpolasyon üzerinde çalışma (Cotes 've Newton'un).

Cotes'ın Newton'un kuvvet serilerinin kompozisyonel tersine çevrilmesine aşina olduğunu tekrar vurgulamak istiyorum (bir formül, formel seriler için Lagrange ters çevirme formülünün birleşikahedron versiyonunu içerir, aşağıdaki Ferraro'ya bakınız), üstel fonksiyon için olan ve Griffiths'in de belirttiği gibi Freiberger tarafından yazılan " Logaritmanın oluşturulması " yazısına yorum: Bu logaritma tabloları olmasaydı, Nicholas Mercator'dan simetrik bir hiperbolun altındaki alanın x ekseni boyunca mesafenin günlüğüne eşit olan ne de Isaac Newton'un geri dönüşünün hiçbir teorisi olmazdı. antilogaritma için sonsuz seriyi elde etmek için hiperbol formülünün $e^x$. (Mercator haritaları, noktaları görmeye başlıyor mu?) Aslında, Ferraro "1820'lerin Başına Kadar Serilerin Yükselişi ve Gelişimi" nin 74 ve 75. sayfalarında Newton'un logaritma için güç serisini nasıl tersine çevirdiğini tartışıyor.$-\ln(1-x)$ logaritmanın güç serisini elde etmek için $1- e^{-x}$. (Mükemmel geometri ve analiz ustalığına sahip olan Newton, kesinlikle burada iki serinin türevleri arasındaki basit ters fonksiyon teoremi ilişkisini de not ederdi.)

Sonuç olarak, Cotes'ın 1714'te Euler yedi yaşındayken kalkülüs ve onun güç serileri ve kompozisyon tersleri ile olan ilişkisinin doğuşunda yazdığı yazıda,

$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$

Euler'in 1748 muhteşem formülünün yeni bir versiyonu (krş. Wikipedia )

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$

Türev (veya akılar) ile yapılan açık bir kontrol, formülü üstel ifadeyi açık bir şekilde kullanmadan doğrular.

$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$

ki eminim ki Newton ve Cotes için SOP - zincir kuralının uygulanması, bu durumda ters fonksiyon teoremi, $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, bu gerçekten formülü açık hale getirir.

"Üstel ve logaritmik kavramların tarihi" adlı kitabında Cajori, John Bernoulli'nin 1702'de gerçeklerden hayali olana dönüştürülen diferansiyel bir denklemin çözümlerini nasıl değerlendirdiğini ve Cotes'in formülünün Cotes'in 1714 ve 1722'de yayınladığı türetimini nasıl verdiğini açıklıyor. Cajori ayrıca daha sonra Euler'in hayali sayıları kullanmaktan çekinmediğini iddia ediyor.

Euler formülü bugün yazıldığı şekliyle, üstel fonksiyonun sembolik tekrarının Euler ve meslektaşları tarafından geliştirilmesini beklemek zorundaydı. $\exp(z) = e^z$ ile $e$Euler sabiti olduğundan, bazen Napier'in günlük tablolarında meydana geldiği için Napier sabiti olarak anılır. Bu, kütüğün Huygens ve diğerleri tarafından açıklanmasının altında yatan birçok analizden sonraydı. Üstel işlev bazen günlük gönderisinde belirtildiği gibi günlüğün önceliğini yansıtan 'antilogaritma' olarak da anılırdı.

Cote'un logaritmik formülü, logaritmanın argümanının pozitif gerçeklerinden karmaşık sayılar alanına, basitçe değiştirmekten çok daha zor bir şekilde bir uzantıdır. $n$ dizi temsilciliğinde $\zeta(n)$ gerçek doğru üzerinde gerçek sayılarla ve daha sonra karmaşık düzlemdeki diğer sayılarla.

Cotes hakkındaki Wikipedia makalesine göre, 1722'de "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, metot başına mensurarum ulterius extensam'da birliğin kökleri üzerine önemli bir teorem yayınladı (ve ilk kez bir radyan değerini verdi). "(Teoremler, biraz logoritmik, biraz trigonometrik, daha da geliştirilen ölçüm yöntemiyle verilen akıların akışlarını verir). Trigonometriyi oldukça iyi anladı ve bu perspektiften hem Cotes hem de Euler'in formülleri,$|x| = 1$karmaşık düzleme. Çözümler, alan 1 ve -1 ve aralık 1 ile çok basit bir işlevi tanımlar; bu, daha sonra karmaşık alanda 1 yarıçaplı bir daire olarak analitik olarak devam ettirilir - bir tür enterpolasyon ( Roger Cotes'da Wiki'deki enterpolasyon bağlantısının üzerine gelin. ) basit bir fonksiyonel denklemi sağlamak$|f(x)|=1$. (Ayrık tamsayı alanlara sahip fonksiyonlardan sürekli karmaşık alanlara sahip olanlara (Newton ve sinc / kardinal seri enterpolasyonlarıyla ilgili) diğer enterpolasyon / analitik devam türleri örnekleri bu MO-Q ve bu MSE-Q'da verilmiştir .)

Daha geniş bir perspektiften, Cotes'ın log formülü, gerçek sayılardan gerçeğe, kompleksten komplekse doğru bir haritalama olarak kütüğün analitik devamlılığının açık bir örneğidir. Cotes, elbette, bunun farkındaydı (gerçekten kullanılıyordu ve kütüğe aşina olan herkesin de bildiği varsayılırdı), çünkü$u,v > 0$,

$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$

bu yüzden, günlüğün analitik devamının en zor kısmını pozitif gerçeklerden karmaşığa yazdı ( çokluğu açıkça hesaba katmasa da)

$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$

Wikipedia'da Referanslar: John Napier , Logaritma Tarihi , Logaritma , Roger Cotes , Euler'in kimliği , Euler'in Formülü .

Karmaşık argümanlarla Euler toplamasına ek olarak, Euler, gama fonksiyonu için melez Mellin-Laplace integral temsilcisiyle bir kesirli hesap geliştirmek için karmaşık argümanlar için faktöriyel gama fonksiyonuna genişleten ilk kişiydi (bkz. " Modern fiziğe Euler mirası "Dattoli ve Del Franco ve yukarıda belirtilen MSE-Q tarafından). Beta fonksiyonu için Euler'in integrali, Newton'un (yine Cotes'in meslektaşı) tamsayı binom katsayılarının gerçeklerine genişletme için yaptığı genelleştirilmiş binom katsayıları için aynı şeyi sağlar. Ne yazık ki, Euler karmaşık sayıların uzantısını tam olarak anlamadı (Argand ve Wessel daha sonra gelecek) aksi takdirde Cauchy, Liouville ve Riemann'ı karmaşık analiz hesaplamasına dahil ederdi.

Riemann zeta fonksiyonunun bir tarih öncesi için, Oswald ve Steuding tarafından yazılan " Adolf Hurwitz'in Matematiksel Çalışmalarında Zeta-Fonksiyon Teorisinin Yönleri " ne bakınız. Yazarlar, zeta'nın tarihöncesi tartışmalarında 's'nin gerçek mi yoksa karmaşık mı olduğunu söylemiyorlar. Euler ve Riemann öncesindeki diğerlerinin$s$karmaşık. Euler, hem muhteşem formülü hem de gama fonksiyonu için yansıtma formülü aracılığıyla komplekse bir bağlantı öneren zeta'nın çift tamsayı argümanları için pi'nin güçleriyle ilişkiye sahipti, ancak Riemann'ınki olmadan bu perspektiften toplayacak pek bir şeyi yoktu Mellin dönüşümü temsilcisi. Riemann'ın zeta'nın yeni özelliklerini ilk kez ortaya çıkaran ilk kişi olduğu, zeta'nın Hankel kontur devamlılığını sağ yarı düzlemden tam karmaşık düzleme vermek için Euler'in yansıma formülünü uygulayan ve olmayanı belirlemek için akıllı bir algoritma geliştirdiği -diğer gelişmeler arasında önemsiz sıfırlar.

Kırmızı ringa balığı, enterpolasyon ve analitik devam arasında yapay bir ikiye bölünmeye zorlamak için kısa vadeli bir çaba gibi görünüyor. Analitik süreklilikler yapmaya yatkın olduğunu belirtmek için Cotes'in (ve Newton'un) gerçek alandaki enterpolasyondaki ilgisini ve becerisini kullanıyorum (kesinlikle gök yörüngelerine yaklaşmakla ilgili). Ek olarak, ikilik de yoktur. Birkaç MO ve MSE sorusunda, enterpolasyonun faktöriyelin gama fonksiyonuna, Bernoulli sayılarının Riemann zeta'ya, Bernoulli polinomlarının Hurwitz zeta'ya ve türevin tamsayı kuvvetlerinin klasik hesabı ile nasıl ilişkili olduğunu gösteriyorum. diğer enterpolasyonlar / AC'ler arasında tamsayı olmayan değerleri karmaşık hale getirmek için (örneğin, bu MO-Q veya bu MO-Q'da başlayın ). Bunlar, sinc fonksiyonu / kardinal serisi enterpolasyonları, iki terimli genişleme enterpolasyonu ve / veya Newton enterpolasyonu ve muhtemelen diğerleri (örn., Bu MO-Q ) ile ilgili olabilir. Bazı daha karmaşık ilişkiler, Mahler'in teoremi ve bu MO-Q'nun yanıtındaki ref ile ilgilidir . Riemann'ın armağanlarının bir yönü, bunun Mellin dönüşümü ile nasıl ilişkili olduğuna dair içgörüsüdür.

(Erişilebilirlik önyargısı için, Khaneman ve Tversky'ye bakınız.)