arasında doğrusal endomorfizm $V$ ve ikili $V$

Question

İzin Vermek $V$ alan üzerinde sonlu boyutlu vektör uzayı olmak $K$. $V^*=\{l:V\to K\}$.

Kanıtlamak $\operatorname{End}(V)$ doğrusal izomorfik $\operatorname{End}(V^*)$.

Benim girişimim: Sonlu boyutlu vektör uzayı için $\dim V^*=\dim V$

dolayısıyla doğrusal olarak izomorfturlar $\psi:V\to V^*$.

Yani verilen eleman $T\in \operatorname{End}(V)$ bulabiliriz $\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$ bunun doğrusal bir endomorfizm olduğunu kontrol etmek kolaydır.

Ve harita, herhangi biri için $\hat{T}$ inşa edebiliriz $T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. Beri enjekte$\hat{T} = 0$ ima eder $T = 0$ sıfır haritasıdır, dolayısıyla önemsiz çekirdeğe sahiptir.

Sonunda göstermemiz gerek $\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$aynı zamanda doğrusaldır. yani$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$ tanımı gereği $\hat{T}$ o tutar.

İspatım doğru mu?

Answer 1

Kanıtınız doğru. Bununla birlikte, arasında başka bir vektör uzayı izomorfizmi vardır.$\operatorname{End}(V)$ ve $\operatorname{End}(V^*)$ izomorfizm gerektirmeyen $V \rightarrow V^*$. Yani, harita$A \in \operatorname{End}(V)$ -e $A^* \in \operatorname{End}(V^*)$ tanımlayarak $(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. Buraya,$ x\in V$ ve $\phi \in V^*$.

Answer 2

Haritalamak istiyorsun $T\colon V\to V$ doğrusal bir haritaya $V^*\to V^*$ ve bunu yapmanın bariz bir yolu var: $T$ devrik $T^*$. Bununla birlikte, bu bir antiizomorfizmi tanımlar , çünkü$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

Bunu kullanarak bir izomorfizm elde edersiniz, $\dim V=n$sen anladın $V\cong M_n(K)$ (yüzüğü $n\times n$matrisler) bir temel seçimi yoluyla. İzomorfizmin geçişkenliği tamamlanır.