Artan bir fonksiyonun türevi olduğunu gösterin $0$ ae
İzin Vermek $0<p<1$ ve tanımla $F:[0,1]\rightarrow[0,1]$ tarafından $$F(x)=\begin{cases} pF(2x),&x\in\left[0,\frac12\right]\\ p+qF(2x-1),&x\in\left[\frac12,1\right] \end{cases}$$ nerede $q=1-p$. Bunu kanıtlamak isterim$F'(x)=0$ ae
Yolumu çalışıyorum "Nasıl Gamble If You Must" temelde egzersizler bir dizi Kyle Siegerst tarafından.$F(x)$ bir kumarbazın hazır parayla başlama olasılığıdır $0\leq x\leq 1$ hedefine ulaşacak $1$kırmızı ve siyah oyununda "cesur oyun" a girerse. Hazır parası ne zaman$\leq\frac12$ Her şeye bahse girer, bahis miktarını olasılıkla kazanır $p$ve olasılıkla kaybetmek $q$. Hazır parası ne zaman$>\frac12$, sadece hedefe ulaşmaya yetecek kadar bahis yapıyor, yani $1-x$.
Egzersizlerde benzersiz bir işlev olduğunu gösterdim $F$yukarıdaki fonksiyonel denklemi tatmin etmek ve sürekli ve kesin olarak artmaktadır. Egzersizi takiben$33$yazar, ne zaman $p\neq\frac12$, $F'(X)=0$ ae, öyle ki $F$şeytanın merdiveni. Bu ifadeyi kanıtlamaya çalışıyorum. (Artan bir fonksiyonun ayırt edilebilir olduğunu biliyorum ve sorun yaşadığım değer bu.)
Belirsiz $50$-yıllık ölçü teorisi hatıraları beni Folland'ın "Gerçek Analiz" kitabında Önerme 3.31'e götürdü.
Eğer $F\in NBV, \text{ then }F\in L^1(m).$ Dahası, $\mu_F\perp m \text{ iff } F' =0$ ae ve $\mu_F \ll m \text{ iff } F(x)=\int_{-\infty}^xF'(t)dt. $
Buraya $m$ Lebesgue ölçüsü ve ae, Lebesgue ölçüsüne göredir. $\mu_F$ Borel ölçüsü tarafından tanımlanır $\mu_F([a,b])=F(b)-F(a)$. Folland kullanır$NBV$ demek için $F$ sınırlı varyasyona sahip, $F(-\infty)=0$ ve $F$doğru süreklidir. Uzatabildiğimiz için bu sorun değil$F$ -e $\mathbb{R}$ tanımlayarak $F(x)=0$ için $x<0$ ve $F(x)=1$ için $x>1$.
Görünüşe göre aşağı iniyor $\mu_F\perp m$. Bu, bir$E\subset[0,1]$ ile $m(E)=0$ ve $\mu_F(E)=1$Eğer yanılmıyorsam. Bunu nasıl kanıtlayacağımı bilmiyorum. Aslında bana pek olası görünmüyor, bu yüzden bir şeyi yanlış anlamalıyım.
29. egzersizde bunu kanıtladım $$F(x)=\sum_{n=1}^\infty p_{x_1}\cdots p_{x_{n-1}}px_n$$ nerede $x_i$ bit numarasıdır $i$ nın-nin $x$, ve $p_0=p,\ p_1=q$. (Ne zaman$x$ ikili bir rasyoneldir, sonlandırıcı temsili alırız.) Kazançları şu şekilde temsil edersek $1$ ve kayıplar $0$Bu, kumarbazın hedefe ulaştığı anlamına gelir, ancak ve ancak hazır parasındaki bir bit karşılık gelen oyun bitiyle eşleşirse, bu bitlerin her ikisi de $1$. Bu, en somut temsilidir.$F$ gazetede, ama nasıl yardımcı olacağını anlamıyorum.
Benim için buna ışık tutabilir misin?
Yanıtlar
İlk not edin ki $F$ rastgele değişkenin cdf'sidir $X:=\sum_1^{\infty} 2^{-n} \xi_n$ nerede $\xi_n$ Bernoulli mi$(p)$rastgele değişkenler. Nitekim açıktır ki,$X = \frac12\xi_1+\frac12 Y$, nerede $Y$ ile aynı dağılıma sahiptir $X$ ve bağımsızdır $\xi_1$. Bu ilişkiyi verir$$P(X\le x) = P(X\le x|\xi_1=0)P(\xi_1=0)+P(X \le x|\xi_1=1)P(\xi_1=1) $$$$= (pP(Y\leq 2x)+q\cdot 0)1_{\{x \le 1/2\}} + (p\cdot 1 +qP(Y\leq 2x-1))1_{\{x >1/2\}},$$ tam olarak hangi ilişki için $F$.
Şimdi büyük sayıların güçlü yasasına dikkat edin: $X$ ikili açılımı asimtotik yoğunluğa sahip gerçek sayılar kümesinde desteklenir $p$ nın-nin $1$s (veya eşdeğer olarak asimptotik yoğunluğa sahiptir $q$ nın-nin $0$'s).
Ancak tüm bu tür gerçek sayıların kümesi Lebesgue sıfırdır. Aslında, gerçek bir sayıyı tek tip olarak örneklediğimizde$[0,1]$, sonra ikili rakamları Bernoulli'dir$(1/2)$, dolayısıyla neredeyse kesinlikle asimptotik yoğunluğu $1$'s $1/2$, değil $p$.
Kanunun şu sonuca varıyoruz: $X$ Lebesgue ölçüsüne göre tekildir, bu koşula denktir $F'=0$ ae.