Ayrık pro. dağılım: iki terimli
Bir iki terimli dağılım için, ağaç diyagramı kullanmak yerine bir olayın sonuçlarından kaçının gerçekleştiğini bilmek istediğimizde, seçimleri veya kombinasyonları kullanabileceğimizi biliyoruz. Örneğin, rastgele bir X değişkeni bir bozuk para atıldıktan sonra tura sayısını temsil etsin ve biz probu bilmek istiyoruz. bir kez çıkan kafa.
Pr (X = 1) = 3C1 kere ... prob diyebiliriz. başarı süreleri probu. başarısızlığın.
Çünkü tek bir kafa seçebileceğimiz üç yol olduğunu biliyoruz. Ağaç diyagramından: HNN, NNH, NHN. H = kafalar, N = Yazı yok.
Sorum şu ki, siparişin önemli olduğu şeyler için kombinasyon kullanmadığımız açıkken kombinasyonları kullanmak neden doğru? Burada görüyoruz ki, bu HNN, NNH, NHN'lerin hepsi aynı elementi bir kafa ve iki kafa içeren farklı şeyler olduğundan, düzenin önemli olduğu açıktır. Neden bunun yerine permütasyonları kullanamıyoruz?
Yanıtlar
Permütasyonlar, farklı nesnelerin düzenlemelerini sayar . Bir tura ve yazı dizisinin öğeleri, dizinin uzunluğu ikiden büyükse, birbirinden farklı olamaz.
Örneğin beş ayrı harften oluşan COUNT kelimesinin harflerinin permütasyon sayısı şöyledir: $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$ ve COUNT kelimesinin harflerinin üç harfli permütasyonlarının sayısı: $$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
Diğer yandan DAĞITIM kelimesinin tüm harflerinin farklı olmadığı harflerin ayırt edilebilir permütasyon sayısı ise $$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$Is için on iki konumdan üçünü, Ts için kalan yedi konumdan ikisini seçmemiz ve ardından kalan yedi konumda D, S, R, B, U, O, N yedi farklı harfini düzenlememiz gerektiğinden. Faktörü$3!$paydada, verilen düzenlemeden ayırt edilebilen bir düzenleme üretmeden, belirli bir düzenleme içinde kendi aralarında Is'a izin verebileceğimiz yolların sayısını temsil eder; faktörü$2!$ paydada, verilen düzenlemeden ayırt edilebilen bir düzenleme üretmeden, belirli bir düzenleme içinde Ts'lerin kendi aralarında izin verebileceğimiz yolların sayısını temsil eder.
Örneğinizde, bir tura ve yazı dizisi tamamen yazı pozisyonları seçilerek belirlendiğinden kombinasyonlar kullanıyoruz, çünkü dizinin kalan pozisyonları kuyruklarla doldurulmalıdır.
Genel olarak, bir iki terimli dağılım probleminde, sonuçlardan birini başarı, diğer sonuçları ise başarısızlık olarak tanımlarız. Tam olarak elde etme olasılığı$k$ başarılar $n$ her biri olasılığa sahip denemeler $p$ başarı $$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$ nerede $p^k$ olasılığı $k$ başarılar $(1 - p)^{n - k}$ olasılığı $n - k$ başarısızlıklar ve $\binom{n}{k}$ bunların yollarının sayısını sayar $k$ başarılar ortaya çıkabilir $n$denemeler. Dikkat edin, hangisinin$k$ of $n$ denemeler başarılar tam olarak varsa sonuçları tamamen belirler $k$ Kalanlardan beri başarılar $n - k$ denemeler başarısızlıkla sonuçlanmalıdır.