Belirli Bir Alt Kümenin bir CW Alt Kompleksi olduğunu Kanıtlamak

Question

Hatcher'ın Cebirsel Topolojisinden bir ispatta bir ayrıntıyla ilgili biraz sorun yaşıyorum (ilgilenenler için, ancak ilgili olduğunu düşünmüyorum, s.520'deki Önerme A.1): Bir CW kompleksimiz var$X$ ve bir $n$-hücre $e_\alpha^n \subset X$ve bu hücrenin ekli haritasının görüntüsü sonlu bir alt kompleks içinde yer almaktadır $A \subset X$. Hatcher şunu iddia ediyor$A \cup e_\alpha^n$sonlu bir alt karmaşıktır, ancak nedenini anlamakta güçlük çekiyorum. Sınırlarını göstermeye çalışıyorum$e_\alpha^n$ içinde bulunur $A$ama hiçbir yere gitmiyorum. Genel olarak doğru mu?$n$-cell, ekli haritasının görüntüsü ile birleşimidir?

DÜZENLEME: Kitap henüz bunu kanıtlamadığından, CW komplekslerinin Hausdorff olduğu gerçeğine başvurmadan bunu kanıtlamak istiyorum.

Answer 1

Bir CW kompleksinin Hausdorff olduğunu göstermek son derece, son derece kolaydır, eğer endişeleniyorsanız bunu kanıtınıza dahil edin.

Bu gerçek ile açık bir hücrenin kapanması $e \rightarrow X$ görüntüsü $e \cup S^n \rightarrow X$açık hücrenin ve sınırdaki karakteristik haritanın eklenmesiyle verilir. Bunun nedeni ise$e \cup S^n = D^{n+1}$kompakttır ve kompakt bir setin görüntüsü, Hausdorff uzayında kapalı anlamına gelen kompakttır. Bu, görüntüsünü içeren en küçük kapalı settir.$e$ çünkü karakteristik haritanın görüntüsündeki herhangi bir nokta, $e$.