Benzersiz bir topoloji belirlemenin temeli
Munkres'in Topolojisini okuduğumda, bir temelimiz varsa$\mathscr{B}$ sette $X$, o zaman temel benzersiz şekilde bir topoloji belirler. $X$; yani iki topolojimiz varsa$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ aynı temelde $\mathscr{B}$, sonra $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$. Haklı mıyım emin değilim çünkü bunu aşağıdaki gibi tanımda göremiyorum:
Eğer $X$ topoloji için bir temel oluşturuldu $X$ bir koleksiyon $\mathscr{B}$ alt kümelerinin $X$ (temel öğeler olarak adlandırılır) öyle ki her biri için $x\in X$en az bir tane var $B\in \mathscr{B}$ öyle ki $x\in B$ ve eğer $x\in B_1\cap B_2$, nerede $B_1, B_2\in \mathscr{B}$o zaman var $B_3\in \mathscr{B}$ öyle ki $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
Üstelik temel $\mathscr{B}$ bir topoloji oluşturur
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $U'da x \$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $B \ alt kümesinde x \ U$}\right\}$,
içeren en küçük topoloji olan $\mathscr{B}$. Bu nedenle, temelleri olan topolojilerin$\mathscr{B}$ eşit olmalıdır $\mathscr{T}_\mathscr{B}$.
Bu arada, Topolojinin Eşsizliği ve Temel adlı makaleye başvurdum ve yorumlardan biri (Henno'nun bıraktığı) önsezimi haklı çıkarıyor gibi görünüyor ve herhangi bir açık kümeden söz ettiler$O$ unsurlarının birliğidir $\mathscr{B}$, yani $O$ zaten topolojide $\mathscr{T}_\mathscr{B}$ama nasıl bilebilirler $O$sadece bir temelin tanımıyla bu şekilde yazılabilir mi? Demek istediğim, Munkres'in kitabında lemme 13.1'de bahsetti, benim anlayışıma göre,$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$temeli olan herhangi bir topoloji için geçerli olduğunu söylemenin tersine $\mathscr{B}$. Belki bu noktada yanlış anlıyorum.
Herhangi bir yardım gerçekten takdir edilmektedir!
Yanıtlar
Topoloji diyoruz $\mathcal T$ temeli var $\mathcal B$ Eğer $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$.
Bu nedenle, iki topoloji aynı temele sahipse, o zaman çakışmaları acildir.
Bunu herkes için söylüyorum $x\in U$ orada bir $B_x\in\mathcal B$ öyle ki $x\in B_x\subseteq U$ demekle eşdeğerdir $U$ unsurlarının birleşimidir $\mathcal B$özellikle $U=\bigcup_{x\in U}B_x$.
Eksik olabileceğin şey şudur
Bir set $\mathcal B$ alt kümelerinin $X$ bir topolojinin temelidir (anlamı $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ bir topolojidir) ancak ve ancak verilen koşullar geçerliyse, yani $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ ve $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
Tüm açık kümelerin koleksiyonu olarak topolojinin tanımından başlayacağım. Şimdi her bir açık küme , bir nokta içeren her temel öğenin küme-teorik birleşimi olarak yazılabilir.$x \in U$, yani, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $. Şimdi, bir topolojinin temelinin varsayımlarına göre, her zaman iki temel öğe alabileceğinizi unutmayın.$B_1, B_2$ boş olmayan kesişme ile ve içlerinde üçüncü bir temel öğe bulun (çağırın $B_3$). Yine de, topoloji topluluğu tarafından oluşturulan olmadan $B_3$ve olan $B_3$ tam olarak aynıdır ve bu, kümeler dikkate alınarak zaten hesaba katılmış bir küme eklersek küme-teorik birliğin değişmemesinden kaynaklanır. $B_1$ ve $ B_2$. Munkres'in bir topolojinin temelinin bir vektör uzayı için bir temel olmadığını yazmasının anlamı budur. Dolayısıyla, bu bakış açısından, tüm (sabit) açık kümelerin küme-teorik birleşimi benzersiz bir nesne olduğundan, o zaman bir temelin topolojiyi belirlediğini, tersini değil diyebilirsiniz.