Bir analitik ise $f$ bu iki koşuldan herhangi birini karşılarsa, sabittir

Question

Çalışmadığım bir enstitünün ödev sorularını deniyorum. Bu 2'ye vuruldum.

1. Eğer $f$ bir bölgeden ayırt edilebilir bir işlevdir $X$ içinde $\mathbb{C}$ içine $\mathbb{R}$ kanıtla $f$ zorunlu olarak sabittir.

2. Eğer $f$ ve $\bar {f}$ her ikisi de bir bölgede analitiktir $X$ bölgede sabit olduklarını gösterin $X$.

Denemeler:

1. Bölge her zaman açıktır. Yani, aralığı$f$ açık olmalı (açık haritalama teoremi) ancak $\mathbb{R}$ açık değil $\mathbb{C}$ tekil bile olsa $\{x\}$kapalı değil. Bu yüzden ifadeyi nasıl ispatlayabileceğim konusunda kafam karıştı.

2. 2 için gösterecek hiçbir şeyim yok çünkü gerçekten kafam karıştı çünkü hangi sonucu kullanacağım $\bar{f}$ söz konusu.

Kibarca yardım.

Answer 1

1) için kanıtınız doğru. 2 için), ikisi de ise$f$ ve $\bar{f}$ holomorfiktir (türevlenebilir), öyleyse $\mathrm{Re}(f)$ ve $\mathrm{Im}(f)$Ama aralıkları uzanıyor $\Bbb{R}$. 1) 'de kanıtladığınız şeye göre, bunların her ikisi de sabit olmalıdır, dolayısıyla$f$ sabittir.