Bir fonksiyonun dönemselleştirilmesi ne zaman süreklidir?
Bir işlevi düşünün $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$, nerede $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$sonsuzda kaybolan sınırlı sürekli fonksiyonların uzayını belirtir . İle ilgileniyorum$T$- böyle bir fonksiyonun periyodik olarak tanımlanması:$$f_{T}(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(t-nT),\quad \forall t\in \mathbb{R}.$$Fischer'de açıklandığı gibi - Ayrık ve periyodik fonksiyonların ikiliği üzerine ,$f_{T}$ bir $T$-periyodik temperli dağılım eğer$f$Bir olduğu hızla çürüyen fonksiyonu daha hızlı herhangi polinomun daha sonsuzda kaybolan -yani.
Sorum şunun düzenliliği ile ilgili $f_T$:
Hangi fonksiyonlar için $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ dönemselleştirilmiş genelleştirilmiş işlevdir $f_{T}$sıradan, sürekli bir işlevin üzerinde tanımlanmış mı?
Başka bir deyişle, varsayımlar ne olmalıdır? $f$ böylece dönemselleştirmesi sürekli mi?
Herhangi bir ipucu çok takdir edilecektir. Şimdiden çok teşekkür ederim!
Yanıtlar
Sadece buna ihtiyacın var $f$Kompakt setlerde seriyi tekdüze yakınsak yapacak kadar hızlı azalır. Örneğin, bu yeterli olacaktır$|x|^p |f(x)|$ bazıları için sınırlıdır $p>1$. Ardından serinin terimlerini kompakt bir aralıkta eşit olarak tahmin edebilirsiniz.$[-a,a]$ için $nT>2a$ tarafından $cn^{-p}$ sabit $c$.
Kısa cevap : örneğin Schwartz fonksiyonları için .
Uzun cevap : "Periyodik" in Fourier dönüşümü "ayrıktır" ve "ayrık" ın Fourier dönüşümü "periyodik" tir. Bu bire bir eşlemedir. Bu Fischer'de açıklanmıştır - Ayrık ve periyodik fonksiyonların ikiliği hakkında .
Benzer şekilde, "normal" in Fourier dönüşümü "yerel" dir ve "yerel" in Fourier dönüşümü "normal" dir. Bire bir haritalamadır. Fischer - Düzenli ve yerel işlevlerin ikiliği üzerine açıklanmıştır .
"Düzenli" terimi, polinomlardan daha hızlı büyümeyen sıradan, sonsuz derecede türevlenebilir fonksiyonlara karşılık gelir. Bu (normal) işlevler, temperlenmiş dağılımlar için çarpma operatörleri olarak adlandırılır. Herhangi bir temperlenmiş dağılımla çarpım ürünü yine temperlenmiş bir dağılımdır.
"Yerel" terimi, "yerel" olan, yani hızla sıfıra bozunan (polinomlardan daha hızlı) tavlanmış dağılımları ifade eder. Bu (genelleştirilmiş) işlevler, tavlanmış dağılımlar için evrişim operatörleri olarak adlandırılır. Herhangi bir temperlenmiş dağılım ile kıvrım ürünleri yine temperlenmiş bir dağılımdır.
"Düzenli" ve "yerel" özellikleri , tavlanmış dağılımlarda bir evrişim teoremini yerine getirir .
Artık "periyodik", "ayrık", "düzenli" ve "yerel" özellikleri birleştirilebilir. Örneğin, "yerel + normal" Schwartz fonksiyonlarıdır ve Schwartz fonksiyonlarının Fourier dönüşümü yine Schwartz fonksiyonlardır ("yerel + normal"). Dahası, "ayrık periyodik" Fourier dönüşümü yine "ayrık periyodiktir". Bu verir Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) .
Şimdi, dönemselleştirilebilen genelleştirilmiş işlevlerin ön koşulu "yerel" olmaları ve ayrıklaştırılabilen genelleştirilmiş işlevlerin ön koşulu da "düzenli" olmalarıdır.
Öyleyse, orijinal soruya geri dönersek, (sıradan veya genelleştirilmiş) bir işlevi dönemselleştirmek için, "yerel" olmalı ve sıradan bir işlev olmasına izin vermek için "düzenli" olmalıdır. Başka bir deyişle, Schwartz işlevleri bu iki gerekliliği karşılar , bunlar "normal + yerel" dir.
Schwartz'ın bu özelliği aynı anda "düzenli" ve "yerel" olma işlevlerini, dağılım teorisinde ve kuantum fiziğinde test işlevleri olarak özel rollerini açıklar .
Bununla birlikte, sıradan ve genelleştirilmiş işlevler anlamında "düzgün olma" arasında bir fark vardır. Her genelleştirilmiş fonksiyonun pürüzsüz (sonsuz olarak türevlenebilir) ve dolayısıyla "sürekli" olduğu hatırlanabilir. Bu soruyu genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisine gömülü olan sıradan fonksiyonlar anlamında cevaplamak için Schwartz fonksiyonlarının yanında daha fazla fonksiyon vardır. Dikdörtgen fonksiyonu , örneğin, genel fonksiyonlar anlamda düz sıradan fonksiyonları anlamında pürüzsüz değildir. Bununla birlikte, dönemselleştirmesi, düzgün, sıradan bir işlev (özellikle sürekli) olan uygun T için sürekli 1 olan işlevi verir. Dolayısıyla, açık bir şekilde, [-T / 2, + T / 2] aralığında sürekli olan ve f (-T / 2) = f (+ T / 2) gibi işlevler de gereksinimi karşılar.