Bir integrali çözmek için Parseval-Plancherel kimliğini kullanmak ne zaman mümkündür?

Question

İntegral formdadır $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. Fourier dönüşümü nerede$\sigma$ işlev $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ ve işlev $\mu(x)$ tarafından verilir $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.

Fourier dönüşümü $\mu(x)$ oldukça kolay bulunabilir $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.

Soru:

Parseval-Plancherel kimliğini kullanmak ve yukarıdaki integrali şu şekilde yazmak mümkün mü? $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?

Eğer öyleyse, yukarıdaki integral olur $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$

Fourier Dönüşümü gibi görünen $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$işlevi. Bu Fourier dönüşümü nasıl hesaplanır?

Answer 1

Fourier'nin dönüştüğü kimliği hatırlayın $K(x)=\text{sech}(x)$ dır-dir $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.

Bu kimliği kullanarak, Fourier dönüşümü $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ kolayca hesaplanabilir

\ başlangıç ​​{denklem} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ sağ) \ sağ) \ etiket {kimlik} \ son {denklem}

Denklemi kullanarak bu ilişki, verilen integral kolayca entegre edilebilir

\ başlangıç ​​{denklem} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ sağ) \ sağ ) \ label {rest} \ end {equation}

Cevabı sayısal olarak kontrol etmek. Konu: Sabit a Grafik Sabiti c