Bir matris yapmak $M(c)=N(c)-L(c)$ bir skaler seçerek pozitif tanımlı $c$, nerede $N(c)$ pozitif yarı kesin

Question

İzin Vermek $P\in\mathbb{R}^{n\times m}$ ile $n>m$ ve $Q\in\mathbb{R}^{n\times k}$ ile $n>k$ öyle ki $P^T P = I_m$ ve $Q^T Q = I_k$. Ayrıca varsayalım$\text{ker}P^T \cap \text{ker}Q^T = \emptyset$. Ardından aşağıdaki iddiayı kanıtlayın:

Var $c>1$ öyle ki matris $$M = (I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T) - (I_n - cQQ^T)$$pozitif tanımlıdır. (Yani,$v^T M v > 0$ hepsi için $v\in\mathbb{R}^n$ öyle ki $v\neq 0$ veya eşdeğer olarak, tüm özdeğerler $M$ açık sağ yarı karmaşık düzlemdedir.)

Yukarıdaki iddia doğru mu yanlış mı? Doğruysa, nasıl kanıtlanır?

Açıklama 1. Matris$(I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T)$ herkes için pozitif yarı kesin $c$ çünkü şeklinde $H^T H$.

Açıklama 2. Matris$(I_n - cQQ^T)$ için pozitif yarı kesin $c=1$ ve pozitif tanımlı $0\leq c <1$. Ama düşündüğümüzden beri$c>1$, belirli olmayan bir matris olduğu ortaya çıkıyor, yani hem pozitif hem de negatif özdeğerleri var.

Answer 1

İzin Vermek $P=w=Q$ ile $\|w\|=1$, $c>1$ve izin ver $v\cdot w=0$, $v\ne0$. Sonra$$Mv=(I-cww^T)ww^T(I-cww^T)v-(I-cww^T)v=-v$$ $$\therefore v^TMv<0$$

Daha genel olarak, eğer $v\in\ker P^T\cap\ker Q^T$, sonra $v^TMv\le0$.

---

Değiştirilen soruyu şununla yanıtla: $\ker P^T\cap\ker Q^T=\{0\}$.

İzin Vermek $m=1$, $n>2$, İzin Vermek $P=w$ ile $\|w\|=1$; İzin Vermek$Q$ öyle ol $Q^Tw=0$. Sonra, eskisi gibi$Mw=0$.