Bir olasılık sorusundaki şüphe: Gelecek yıl bir adamın ölme olasılığını bulma

Question

Sorun İfadesi : Var$n$ erkekler $A_1,A_2,...,A_n$ her yaşlı $x$ yıl ve gelecek yıl her birinin ölme olasılığı $p$. Olasılık nedir$A_1$ gelecek yıl ölecek ve ilk ölecek mi?

Ben böyle çözmeye çalıştı:
Let$P(A_i)=p=$ olasılığı $A_i$ gelecek yıl ölüyor; $P(\bar A_i)=$Olasılık $A_i$gelecek yıl
ölmeyelim$E=$ olay $A_1$ gelecek yıl ölür ve ilk ölen kişi olur

$P(E)=P(A_1\cap \bar A_2\cap \bar A_3\cap...\cap \bar A_n)=P(A_1)(1-P(A_2))...(1-P(A_n)=p(1-p)^{n-1} \tag{1}$

Alternatif olarak, düşünelim $F=$ event that atleast one of the $n$ men dies.
$P(F)=1-$ Probability that no one dies=$1-(1-p)^n$ and therefore, probability that $A_1$ is the first to die =$\frac{1-(1-p)^n}{n}\tag{2}$ (because each of the men is equally likely to die)

I wonder why both the answers in $(1)$ and $(2)$ are different. Please help me understand. Thanks.

Answer 1

$(1)$ Does not take into account the fact that multiple people can die in the same year and $A_1$ still be the first to die out of them. For example, if we know that $A_1$ and $A_2$ die next year, there is a $1/2$ chance $A_1$ died first, and a $1/2$ chance $A_2$ died first. If $A_1$ and $A_2$ die next year, and $A_1$ died first, that would not be a member of event $E$. Therefore $P(E)$ is not the correct answer to the problem. $(2)$ is correct reasoning.