Bir poker eli seçme olasılığı
Beş kartlı poker eli ile ilgili bir olasılık problemini çözmeye çalışıyorum. Bulduğumdan farklı olan cevaba erişimim var. Soru:What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?
Bu soruya cevabım şu oldu: $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$. Bunun anlamı:
- Önce bir kart numarası seçin, ardından iki takımını seçin, yani. $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$. Bunlar aynı değere sahip iki kart olacak.
- Şu şekilde yinelenmeyen diğer üç kartı seçin: $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$.
Doğru cevap cevabımla uyuşmuyor. Bu cevap AOPS kitabında verilmiştir ve şöyledir:$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.
Yani soru şu, neyi yanlış yapıyorum? Teşekkürler
Yanıtlar
By ürünün üstünlüğü , ilk seçilen kart numarası ve kartın iki takım elbise sonra biz seçmek gerekir$3$ ile kartlar $3$ farklı değerler $\binom{12}{3}$ ve sonra her biri için şu dört takımdan birini seçebiliriz: $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$. Yönteminize göre seçimler$\binom{48}{1}$ ve birbirini izleyen diğer ikisi yanlış çünkü onları fazla sayıyorsunuz (örn. $3,5,8$ farklı olurdu $5,3,8$). Bu nedenle, sayma yolunda, bölmeniz gerekir$3!=6$.
kitabınızın çözümü doğru. Doğru beyin fırtınasını açıklayalım.
5 çekilişte tam bir çift elde etmek için şunlara sahipsiniz:
{AA, 22,33, ...} çiftini seçmek için 13 seçenek
sahip olduğunuz her çift için $\binom{4}{2}$ kıyafeti seçme seçenekleri: kupa, karo, sinek veya maça
kalan 3 çekiliş için $\binom{12}{3}$ farklı kart seçenekleri
sahip olduğunuz her prevoius seçeneği için $4^3$ takım için seçenekler: kupa, karo, sinek veya maça
tüm prevoius puanlarını çarpın.
$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$
Elinizi seçtiğinizi varsayalım $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$. Yönteminiz bu eli sayar$3! = 6$ üç tekli tonu seçtiğiniz sıraya bağlı olarak.
Üç singletonun seçildiği sıra önemli değildir, bu nedenle doğru cevap, tek bir kartın çekildiği üç sıra seçer ve ardından bu sıraların her birinden bir kart seçer.
Bunu gözlemleyin $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$
Olası vaka sayısı: $ c_p = \binom{52}{5} $.
Olumlu vaka sayısı:
İlk kart paketini seçin: $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $.
İlk iki terimlinin bir kart numarası seçmek için ve ikincisinin dört sembol arasından ikisini seçmek için kullanıldığını unutmayın.
Üç farklı kart grubunu seçin: $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ İlk iki terimlinin üç kart seçmek için ve ikincinin üç kartın her biri için yalnızca bir sembol seçmek için kullanıldığını unutmayın.
Sonuç: $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$
Çözümünüzde, son üç iki terimli, üç özdeş karttan oluşan bir takım sağlayabilir, çünkü siz sadece kartları seçersiniz, sembolleri değil.
Siz ve kitap, kalan üç kartı nasıl seçeceğinizi farklı sayıyorsunuz. Cevabınız:$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ Kitabın cevabı: $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ A ile farklılık gösterirler $3!$faktör, tam olarak üç farklı nesnenin permütasyon sayısıdır. Bu, kalan üç kartın sırasını düşündüğünüzü gösterir.