bir sınırla ilgili olarak: açık açıklama gerekli
Sahibiz, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$
Ve bu sorun değil, ancak tam olarak emin değilim $p\in \mathbb{R}$, sorum şu, bunun için doğru mu $p\in \mathbb{R}$?
Symbolab Çevrimiçi Hesaplayıcı'da bu sınırın değerini hesaplamayı denedim. $p =some$ $fraction$ $number$ama gösteriyor $0$cevap olarak. Bu davanın ekran görüntüsü ektedir.


Birisi bana yaklaşımı sağlayabilir mi, hatta yukarıda belirtilen rakamı kanıtlamak veya çürütmek için ipucu verebilir mi?
Şimdiden teşekkürler!
Yanıtlar
Herhangi biri için doğru $p> -1$. Aslında bir Riemann toplamıdır:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ işlev için $f(x)=x^p$sınırlarla $0$ ve $1$, bu nedenle birleşir $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$
İPUCU
Stoltz-Cesaro'yu kullanarak elde edelim
$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$