Bir Sorumlu Grup Tarafından Bir Sorumlu Grup'un Uzatılması, Sorumlu Olabilir
Bunu kanıtlamak isterim eğer $H\subset G$ normal bir uygun alt gruptur öyle ki $G/H$ o zaman uygundur $G$uygundur. Kullandığım amenability tanımı aşağıdaki gibidir:
Bir grup $G$ her eylemi uygundur $G$ Kompakt bir metrik uzayın homeomorfizmleri ile değişmez bir olasılık ölçüsü kabul eder.
Bu tanım, Navas'ın "Çember Diffeomorfizm Grupları" nda bulunabilir. Pek çok farklı yol denedim ama bunu kanıtlayamadım, uygunluğun birçok eşdeğer tanımı olduğunu biliyorum ama (eğer mümkünse) sadece bu tanımı kullanan bir kanıt istiyorum.
Şimdiye kadar yaptığım şey: $G$ Üzerinde davranır $(M,d)$ sonra $G/H$ Üzerinde davranır $M/H$ (bölüm $M$ yörüngelerinde $H$) sorun, bu grubun mutlaka metrik olmamasıdır, bu durumda bölüm grubuna psödometrik $d'$ Wikipedia'da verilen https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Quotient_metric_spaces (topoloji bölüm topolojisinden daha zayıf olabilir) ve sonra başka bir bölüm yapın $X=(M/H)/\sim$ nerede $[x]\sim [y]$ Eğer $d'([x],[y])=0$. Buraya$X$ kompakt bir metrik uzaydır ve harekete geçebiliriz $G/H$ açık $X$ veren ${[g]}({[[x]]})=[[y]]$ Eğer $[[g(x)]]=[[y]]$, dan beri $G/H$ uygunsa, değişmez bir olasılık ölçüsü vardır, yani $\nu$. Şimdi setler$A_{[[x]]}=\lbrace y\in M:[[y]]=[[x]]\rbrace$ eylemi altında kompakt ve değişmezdir $H$, yani her birinin değişmez bir olasılık ölçüsü vardır: $\mu_{[[x]]}$ ve olasılık ölçüsünü tanımlayabiliriz $M$ gibi $$\mu(B)=\int_X \mu_{[[x]]}(B\cap A_{[[x]]})d\nu([[x]]).$$
Bunun genel olarak işe yarayıp yaramadığını bilmiyorum, kanıtlayamadım veya çürütemedim, sanırım bu işe yaramıyor çünkü yörüngelerin içsel bir şekilde değişmesi $H$ setlerde $A_{[[x]]}$, ama umarım bu size şu ana kadar denediğim şey hakkında biraz fikir verir.
Umarım açıkımdır, şimdiden çok teşekkürler.
Yardımcı olabilecek bir şey: Bir metrik uzaydaki olasılık ölçülerinin uzayı kompakttır, bu nedenle olasılık neasures yakınsamasını kullanabilirsiniz.
Yanıtlar
Kompakt bir metrik alanı düzeltin $M.$ İzin Vermek $W(M)$ Wasserstein uzayını ifade eder $M$: olasılık ölçülerinin uzayı $M,$Wasserstein metriğiyle. Önemli özellik, bu metriğin zayıf yakınsama topolojisini vermesidir.$W(M)$ kompakt bir metrik uzay.
İzin Vermek $W(M)^H$ alt uzayını göstermek $H$-değişmeyen önlemler. Bu kapalı, bu yüzden aynı zamanda kompakt bir metrik uzay.
Eylemi $G$ açık $M$ bir eylem verir $(gp)(A)=p(g^{-1}A)$ açık $W(M).$ Dan beri $H$ normaldir, $G$ korur $W(M)^H$: Eğer $p$ dır-dir $H$ değişmez o zaman $p(g^{-1}hA)=p((g^{-1}hg)g^{-1}A)=p(g^{-1}A).$ Fakat $H$ önemsiz davranır $W(M)^H,$ yani aslında $G/H$ Üzerinde davranır $W(M)^H.$ Dan beri $G/H$ uygun mu bir $G$değişken ölçü $\xi$ açık $W(M)^H.$
Bu, olasılık ölçüleri uzayında bir olasılık ölçüsüdür. Orijinal uzayda bir ölçü almak için$M,$önlemlerin entegrasyonuna ihtiyacımız var. Veya başka bir deyişle Kantorovich monadının çarpımı . Tanımlamak$E\xi\in W(M)$ tarafından $(E\xi)(A)=\int p(A)d\xi(p)$ her Borel için $A.$ $G$değişkenliği $\xi$ ima eder $G$değişkenliği $E\xi$: $$(gE\xi)(A)=\int (gp)(A)d\xi(p)=(E\xi)(A).$$
Son olarak, ölçülebilirlik koşulunu her yerde bırakırsanız aynı argümanın işe yarayacağını belirtmek isterim. Her biri için değişmez bir olasılık ölçüsünün varlığı$G$-Kompakt bir Hausdorff uzayında eylem, yerel olarak kompakt olmayan gruplara yararlı bir şekilde genelleştiren birkaç amenability tanımından biridir.
Sanırım, Navas'ın tanımı ile standart uygunluk kavramının denkliğine Bogolyubov-Dey teoremi deniyor. Bunu birçok yerde bulabilirsiniz, örneğin, bkz.
Grigorchuk, Rostislav; de la Harpe, Pierre , Topolojik grupların rahatlığı ve ergodik özellikleri: Bogolyubov'dan itibaren , Ceccherini-Silberstein, Tullio (ed.) ve diğerleri, Gruplar, grafikler ve rastgele yürüyüşler. Wolfgang Woess'in 60. doğum günü vesilesiyle 2-6 Haziran 2014 tarihinde Cortona, İtalya'da atölye çalışmasının seçilmiş bildirileri. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 978-1-316-60440-3 / pbk; 978-1-316-57657-1 / ebook). London Mathematical Society Lecture Note Series 436, 215-249 (2017). ZBL1397.43001 .
( Ücretsiz sürüm için burayı okuyun .) Bu sonuç göz önüne alındığında, uygun gruplar sınıfının uzantılar altında kapatıldığına dair mevcut kanıtların çoğunu kullanabilirsiniz, örneğin burada veya uygun gruplarla ilgili diğer birçok kitaptan biri.
Düzenle. Kitap bağlamından, Navas'ın uygunluğu (ve örneğin, T özelliğini) yalnızca ayrık topoloji ile donatılmış gruplar için tanımladığı açıktır. Topolojik gruplar bağlamında (ayrık olmayan topoloji ile donatılmış) esneklikten asla bahsetmemesi talihsiz bir durumdur, uygunluğun standart olmayan bir tanımını kullanması ve uygun grupların (ve orada Bunlardan kaçı referanslara bakın burada en azından) ayrık grupları içerir yerel kompakt gruplar halinde.